円形の磁場領域で曲げる

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 磁場がある部分だけ円弧、外は直線。だから運動そのものは単純で、勝負は「円弧が何度分か」を幾何で出すところにある。

ここで効くのが「中心に向かって入射する」という条件である。入射点を P、領域の中心を O、軌道の円の中心を C とすると、速度は P から O へ向かう向き、そして PC は速度に垂直である。つまり三角形 OPC は P が直角である。

この直角三角形が、答えの $\frac{a}{r}$ を運んでくる。

① 軌道半径。 磁場から受ける力が向心力になる。

$$qvB=\frac{m{v}^2}{r}⟹r=\frac{mv}{qB}$$

② 偏向角の式。 入射点を P、出口を Q、領域の中心を O、軌道の円の中心を C とする。

$\mathrm{OP}=a$、$\mathrm{PC}=r$ で、速度は PO の向き、PC は速度に垂直だから

$$\angle \mathrm{OPC}=90^{\circ }$$

出口 Q でも同じことが成り立つ。$\mathrm{OQ}=a$、$\mathrm{QC}=r$ で、これらは合同な直角三角形である(斜辺 OC が共通で、2 辺が等しい)。

したがって OC は角 $\angle \mathrm{PCQ}$ を二等分する。速度の向きが回った角 $\theta$ は、軌道の円の中心から見た円弧の角 $\angle \mathrm{PCQ}$ に等しいので

$$\angle \mathrm{OCP}=\frac{\theta }{2}$$

直角三角形 OPC で、直角をはさむ 2 辺は $\mathrm{OP}=a$ と $\mathrm{PC}=r$ だから

$$\tan \angle \mathrm{OCP}=\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PC}}=\frac{a}{r}$$

$$\tan \frac{\theta }{2}=\frac{a}{r}$$

③ 直角に曲げる。 $\theta =90^{\circ }$ なら $\tan 45^{\circ }=1$ だから $r=a$ である。

$$B=\frac{mv}{qr}=\frac{mv}{qa}=\frac{1.6\times 10^{-27}\times 1.0\times 10^6}{1.6\times 10^{-19}\times 0.10}=0.10\mathrm{T}$$

④ 速さが 2 倍のとき。 磁束密度が同じなら、$r=\frac{mv}{qB}$ は速さに比例するので $r=2a$ になる。

$$\tan \frac{\theta }{2}=\frac{a}{2a}=0.50⟹\frac{\theta }{2}=26.6^{\circ }$$

$$\theta \approx 53^{\circ }$$

速い粒子ほど曲がりにくい。曲がる角を測れば、速さ(正しくは運動量 $mv$)が分かる。

まとめ 「中心を狙って入る」という条件が直角三角形を生み、偏向角が $\tan \frac{\theta }{2}=\frac{a}{r}$ という簡潔な形になる。円弧の問題は、軌道の円の中心を書きこむところから始めたい。

発展 — 一歩先へ。 ② の議論には、もう 1 つ読み取れることがある。出口 Q でも $\angle \mathrm{OQC}=90^{\circ }$ が成り立つ、つまり出るときの速度(QC に垂直)は OQ の向きに一致する。

言いかえると、中心を狙って入った粒子は、必ず「中心から見て真っすぐ外向き」に出ていく。入射の向きをどう変えても(中心を狙うかぎり)この性質は保たれる。

この対称性のおかげで、円形の磁場領域は粒子の向きをそろえる装置として使える。加速器で粒子の進む向きを曲げる電磁石が、円形の磁極をもつのはこのためである。

別解

弦の長さから求めるルート。 直角三角形を使わずに、弦の長さを 2 通りに表しても同じ式が出る。

入口 P と出口 Q はどちらも境界の円(半径 $a$、中心 O)の上にあり、同時に軌道の円(半径 $r$、中心 C)の上にもある。つまり線分 PQ は 2 つの円に共通の弦である。

軌道の円から見ると、中心角が $\theta$ の弦だから

$$\mathrm{PQ}=2r\sin \frac{\theta }{2}$$

一方、座標を置いて計算すると

$$\mathrm{PQ}=\frac{2ar}{\sqrt{a^2+r^2}}$$

となる。2 つを等しいとおくと

$$\sin \frac{\theta }{2}=\frac{a}{\sqrt{a^2+r^2}}$$

この式の右辺は、直角をはさむ 2 辺が $a$ と $r$、斜辺が $\sqrt{a^2+r^2}$ の直角三角形の正弦にほかならない。だから

$$\tan \frac{\theta }{2}=\frac{a}{r}$$

と書き直せる。共通の弦を 2 通りに表すという手は、2 つの円が絡む問題で広く使える。