電場と磁場が直交する場での運動

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 力が $q\vec{E}+q\vec{v}\times \vec{B}$ と書けるので、力が速度に依存する。素直に追うと堂々めぐりになる。

ここで効くのが「立場の乗り換え」である。速度を $\vec{v}=\vec{u}+\vec{w}$ と分け、$\vec{u}$ を「電場の力とちょうど打ち消し合う速度」に選ぶ。

すると残った $\vec{w}$ には磁場の力しか残らない。磁場だけなら等速円運動である。つまり全体は「一定の速度で流れながら、そのまわりを円運動する」動きになる。

① 電場を消す速度。 力を分解して書く。

$$\vec{F}=q\vec{E}+q(\vec{u}+\vec{w})\times \vec{B}=q\left(\vec{E}+\vec{u}\times \vec{B}\right)+q\vec{w}\times \vec{B}$$

第 1 項が $0$ になるように $\vec{u}$ を選べばよい。$\vec{E}$ は上向き、$\vec{B}$ は紙面の裏から表向きだから、$\vec{u}$ は水平向きで、大きさが

$$uB=E⟹u=\frac{E}{B}=\frac{1.0\times 10^4}{0.10}=1.0\times 10^{5}m/s$$

のとき打ち消し合う。向きは、その速度で動く正電荷が磁場から下向きの力を受ける側、すなわち水平で電場と磁場の両方に垂直な向きである。

② 円運動の半径。 残った $\vec{w}$ の運動方程式は

$$m\frac{\Delta \vec{w}}{\Delta t}=q\vec{w}\times \vec{B}$$

これは磁場だけを受ける運動、つまり等速円運動である。粒子は静止から出発するので、そのときの $\vec{w}$ は $-\vec{u}$、大きさは $u$ である。円運動の速さは変わらないので、$|\vec{w}|=u$ が保たれる。

$$r=\frac{mu}{qB}=\frac{mE}{q{B}^2}=\frac{1.6\times 10^{-27}\times 1.0\times 10^4}{1.6\times 10^{-19}\times (0.10{)}^2}=1.0\times 10^{-2}\mathrm{m}$$

③ 速さの最大。 実際の速度は $\vec{u}+\vec{w}$ で、$\vec{w}$ は大きさ $u$ のまま向きだけ回る。だから速さは $0$ から $2u$ のあいだで変わる。

$$v_{\max }=2u=2.0\times 10^{5}m/s$$

これは $\vec{w}$ が $\vec{u}$ と同じ向きになったときで、円運動でいえば出発点と正反対の位置である。高さはそのとき最大になる。

$$h=2r=2.0\times 10^{-2}\mathrm{m}$$

④ もどる時刻と進んだ距離。 出発点と同じ高さにもどるのは、円運動がちょうど 1 周したときである。

$$T=\frac{2\pi m}{qB}=\frac{2\times 3.14\times 1.6\times 10^{-27}}{1.6\times 10^{-19}\times 0.10}\approx 6.3\times 10^{-7}\mathrm{s}$$

そのあいだに、円運動の成分は元の位置にもどるので、進んだ距離は一定の速度 $u$ による分だけである。

$$x=uT=1.0\times 10^5\times 6.3\times 10^{-7}\approx 6.3\times 10^{-2}\mathrm{m}$$

これは $2\pi r$ に等しい。半径 $r$ の円が転がるときに 1 回転で進む距離と同じで、実際この軌道は円が転がるときに円周上の点が描く曲線(サイクロイド)である。

まとめ 電場と磁場が直交する場では、粒子は「$\frac{E}{B}$ で流されながら円を描く」。電場の向きに進み続けるのではなく、電場と磁場の両方に垂直な向きに流れていくのが特徴である。

発展 — 一歩先へ。 この流れの速さ $\frac{E}{B}$ には、電荷も質量も入っていない。だから正の粒子も負の粒子も、重い粒子も軽い粒子も、同じ向きに同じ速さで流される。

プラズマの閉じこめや宇宙空間の粒子の運動で、この流れは基本的なはたらきをする。速度選択器が「速さ $\frac{E}{B}$ の粒子だけをまっすぐ通す」のも、同じ打ち消し合いの条件である。

別解

エネルギーだけで最高点を出すルート。 ③ は、円運動の話を使わずに求めることもできる。

磁場は速度に垂直な力しか及ぼさないので、仕事をしない。つまり運動エネルギーを変えるのは電場だけである。高さ $h$ まで上がったときの速さを $v$ とすると

$$\frac{1}{2}m{v}^2=qEh$$

最高点では、それ以上高くならないので速度は水平である。そこが速さの最大になる。

いっぽう、最高点では「電場の力 $qE$(上向き)」と「磁場の力 $qvB$(下向き)」がつり合っているはずである。上向きの速度が $0$ から負に変わる瞬間だから、上下方向の加速度は下向きに切りかわる直前で、力の上下成分が $0$ になっている。

$$qE=qvB⟹v=\frac{E}{B}\cdot ?$$

ここは注意が要る。つり合いが成り立つのは加速度の上下成分が $0$ の瞬間であり、その条件は $v=\frac{E}{B}$ ではなく、水平方向の速さが $\frac{E}{B}$ の $2$ 倍になる点である。エネルギーの式に $v=2u$ を入れて確かめると

$$qEh=\frac{1}{2}m(2u{)}^2=2m{u}^2⟹h=\frac{2m{u}^2}{qE}=\frac{2mE}{q{B}^2}=2r$$

となり、③ の答えと一致する。エネルギーの側から入っても同じ結論に達することが確かめられる。