telvia演習ラボ

数学A

整数の性質 約数と倍数・不定方程式・n進法

約数と倍数、素因数分解、ユークリッドの互除法、1次不定方程式、n進法を扱います(数学と人間の活動)。

全 56 問(★基礎 12・★★標準 12・★★★応用 8・★★★★難関 8・実戦編 8・最難関編 8)

★ 基礎の問題12問

教科書レベル。定義・公式の確認と基本操作

  1. 倍数の判定法
  2. 素因数分解
  3. 約数の個数と総和
  4. 最大公約数・最小公倍数
  5. 互いに素と既約分数
  6. 余りによる整数の分類
  7. 連続する整数の積
  8. ユークリッドの互除法
  9. 1次不定方程式の整数解
  10. 分数が整数になる条件
  11. n進法と10進法の変換
  12. 有限小数と循環小数

★★ 標準の問題12問

定期テストレベル。典型パターンの運用

  1. 倍数の判定法の応用
  2. 約数の個数から数を決める
  3. 最大公約数・最小公倍数から2数を求める
  4. 連続する整数が互いに素であること
  5. 平方数を4で割った余り
  6. n³−n が6の倍数であること
  7. 互除法による1次不定方程式の解
  8. 1次不定方程式の一般解
  9. 1次不定方程式の文章題
  10. 分数が整数になる整数
  11. n進法の変換(整数と小数)
  12. 循環小数を分数で表す

★★★ 応用の問題8問

入試標準レベル。複数の考え方を組み合わせる

  1. 2つの余りの条件を満たす整数
  2. 整数解をもたないことの証明
  3. 最大公約数と和から2数を求める
  4. 奇数の平方から1を引くと8の倍数
  5. 桁が逆になる2つの記数法
  6. 約数の個数が奇数になる数
  7. 1次不定方程式の自然数解
  8. 連続する4整数の積に1を加えると平方数

★★★★ 難関の問題8問

旧帝大・早慶レベル。一部の単元に用意した挑戦枠

  1. 1次不定方程式の整数解(一般解)
  2. 約数がちょうど15個ある最小の整数
  3. 整数解をもたないことの証明(無限降下)
  4. n進法で表された数が立方数であること
  5. 最大公約数と最小公倍数から2数を求める
  6. n⁵−n は30の倍数
  7. n²+n+1 は平方数でない
  8. 循環小数を既約分数で表す

実戦編の問題8問

難関大の総合問題。複数の単元を融合した単元横断の演習

  1. 100! の末尾に並ぶ0の個数(素因数の個数)
  2. フェルマーの小定理(二項定理と帰納法)
  3. 3の2024乗を100で割った余り(位数)
  4. (2+√3)ⁿ の整数部分は奇数(共役と漸化式)
  5. ピタゴラス数の積は60の倍数(合同で場合分け)
  6. オイラー関数の値(互いに素な数の個数)
  7. 連続する和が n の倍数(鳩の巣原理)
  8. 素数を法とする二項展開(フロベニウスの夢)

最難関編の問題8問

東大・京大の最難関レベル。気づきにくい発想や、何段階もの議論が必要な問題

  1. 2つの素数のべきの和が素数になる組
  2. 2のべき乗+1が素数になる条件
  3. 3つの平方数の和で表せない数
  4. x²−2y²=1 の自然数解
  5. 単位分数の和 1/2 への分解
  6. メルセンヌ素数と完全数
  7. 約数すべての積が n³ になる数
  8. 隣り合う階乗+1の最大公約数

整数の性質の解説(つまずきやすい点と学習の順序)

この単元の内容を使う入試過去問