整数の性質 — 約数と倍数・不定方程式・n進法

次の問いに答えよ。

(1) $837$ が $3$ の倍数か、$9$ の倍数かを判定せよ。

(2) $4$ 桁の整数 $\overline{31\square 4}$ が $4$ の倍数となるような、十の位の数字 $\square$($0$〜$9$)をすべて求めよ。

(3) $3$ 桁の整数 $\overline{5\square 2}$ が $9$ の倍数となるような、十の位の数字 $\square$ を求めよ。

次の整数を素因数分解せよ。

(1) $360$

(2) $1176$

$600$ について、次の問いに答えよ。

(1) 正の約数は何個あるか。

(2) 正の約数の総和を求めよ。

$48$ と $60$ について、次の問いに答えよ。

(1) 最大公約数と最小公倍数を求めよ。

(2) (最大公約数)$\times$(最小公倍数)が、$48\times 60$ に等しいことを確かめよ。

分数 $\frac{84}{126}$ を、これ以上約分できない分数(既約分数)にせよ。

整数 $n$ を $3$ で割った余りに着目して、$n^2$ を $3$ で割った余りとしてありえるものをすべて求めよ。

$n$ を整数とする。連続する $2$ つの整数の積 $n(n+1)$ は、必ず $2$ の倍数(偶数)になることを証明せよ。

ユークリッドの互除法を用いて、$319$ と $377$ の最大公約数を求めよ。

次の方程式を満たす整数 $x$、$y$ の組をすべて求めよ。

$$7x+3y=2$$

$\frac{n+5}{n+1}$ が整数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。

次の変換をせよ。

(1) $2$ 進法で表された $110101_{(2)}$ を $10$ 進法で表せ。

(2) $10$ 進法の $45$ を $2$ 進法で表せ。

(3) $10$ 進法の $45$ を $5$ 進法で表せ。

次の分数を小数で表し、有限小数か循環小数かを答えよ。

(1) $\frac{3}{8}$

(2) $\frac{5}{12}$

$3$ 桁の整数 $\overline{4\square 6}$ が $6$ の倍数となるような、十の位の数字 $\square$($0$〜$9$)をすべて求めよ。

正の約数がちょうど $15$ 個ある自然数のうち、最小のものを求めよ。

最大公約数が $6$、最小公倍数が $180$ である $2$ つの自然数の組をすべて求めよ。

$n$ を整数とする。連続する $2$ つの整数 $n$ と $n+1$ は互いに素であることを証明せよ。

整数 $n$ について、$n^2$ を $4$ で割った余りとしてありえるものをすべて求めよ。また、この結果を用いて、$4$ で割ると $3$ 余る整数は平方数でないことを説明せよ。

$n$ を整数とする。$n^3-n$ は $6$ の倍数であることを証明せよ。

次の方程式の整数解をすべて求めよ。ユークリッドの互除法を用いて、まず整数解を1組見つけよ。

$$37x+13y=1$$

次の方程式の整数解をすべて求めよ。

$$11x+8y=1$$

$1$ 個 $80$ 円のみかんと $1$ 個 $120$ 円のりんごを、それぞれ $1$ 個以上買って、代金の合計をちょうど $1000$ 円にしたい。みかんとりんごの買い方は全部で何通りあるか。

$\frac{2n+7}{n+2}$ が整数となるような整数 $n$ をすべて求めよ。

次の変換をせよ。

(1) $3$ 進法で表された $2101_{(3)}$ を $10$ 進法で表せ。

(2) $2$ 進法の小数 $0.101_{(2)}$ を、$10$ 進法の分数で表せ。

次の問いに答えよ。

(1) 循環小数 $0.\dot{4}\dot{5}$($0.454545\dots$)を分数で表せ。

(2) (1)の分数の分母に着目して、この数が循環小数になる理由を説明せよ。

$3$ で割ると $2$ 余り、$5$ で割ると $3$ 余る自然数について、次の問いに答えよ。

(1) このような自然数を、小さいほうから $2$ つ求めよ。

(2) このような自然数のうち、$2$ 桁で最大のものを求めよ。

方程式 $x^2-3y^2=2$ を満たす整数 $x$、$y$ は存在しないことを証明せよ。

最大公約数が $12$、和が $180$ である $2$ つの自然数の組をすべて求めよ。

$n$ を奇数とする。$n^2-1$ は $8$ の倍数であることを証明せよ。

ある自然数 $N$ を $5$ 進法で表すと $3$ 桁の ${\overline{abc}}_{(5)}$ になり、$8$ 進法で表すと桁の順が逆の ${\overline{cba}}_{(8)}$ になる。$N$ を $10$ 進法で求めよ。

正の約数の個数が奇数である自然数は、平方数(ある整数の $2$ 乗)に限ることを証明せよ。

$3x+5y=47$ を満たす自然数 $x$、$y$ の組をすべて求めよ。

$n$ を整数とする。連続する $4$ つの整数の積 $n(n+1)(n+2)(n+3)$ に $1$ を加えると、平方数になることを証明せよ。

方程式 $17x-13y=5$ を満たす整数 $x,y$ の組をすべて求めよ。

正の約数がちょうど $15$ 個ある正の整数のうち、最小のものを求めよ。

方程式 $x^2+y^2=3z^2$ を満たす正の整数 $x,y,z$ は存在しないことを示せ。

$n$ を $4$ 以上の整数とする。$n$ 進法で $1331_{(n)}$ と表される数は、ある整数の $3$ 乗であることを示せ。

$2$ つの正の整数 $a,b$($a\le b$)について、最大公約数が $12$、最小公倍数が $720$ である。このような $a,b$ の組をすべて求めよ。

すべての整数 $n$ について、$n^5-n$ は $30$ の倍数であることを示せ。

$n$ を正の整数とするとき、$n^2+n+1$ は平方数でないことを示せ。

循環小数 $0.\dot{1}3\dot{5}=0.135135135\cdots$ を既約分数で表せ。

$100!$($=1\times 2\times \cdots \times 100$)を計算すると、末尾に $0$ が連続して何個並ぶか求めよ。

$p$ を素数とする。すべての整数 $a\ge 0$ について $a^p\equiv a(\mathrm{mod}p)$ が成り立つことを、二項定理と数学的帰納法で示せ。

$3^{2024}$ を $100$ で割った余りを求めよ。

$n$ を自然数とする。$a_n=(2+\sqrt{3}{)}^n+(2-\sqrt{3}{)}^n$ について、(1) $a_n$ は整数で $a_{n+1}=4a_n-a_{n-1}$ を満たすことを示せ。

(2) $(2+\sqrt{3}{)}^n$ の整数部分は奇数であることを示せ。

$x^2+y^2=z^2$ を満たす自然数 $x,y,z$ について、積 $xyz$ は $60$ の倍数であることを示せ。

$360$ 以下の自然数のうち、$360$ と互いに素なものの個数 $\phi (360)$ を求めよ。

$n$ 個の整数 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ が与えられたとき、連続して並ぶいくつかの和 $a_{i+1}+a_{i+2}+\cdots +a_j$($0\le i<j\le n$)で $n$ の倍数になるものが必ず存在することを示せ。

$p$ を素数とする。(1) $0<k<p$ のとき二項係数 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k}\right)$ は $p$ の倍数であることを示せ。

(2) すべての整数 $a,b$ について $(a+b{)}^p\equiv a^p+b^p(\mathrm{mod}p)$ を示せ。

$p,q$ を素数とする。$p^q+q^p$ が素数となる組 $(p,q)$ をすべて求めよ。

$n$ を自然数とする。

(1) $n$ が3以上の奇数の約数をもつならば、$2^n+1$ は素数でないことを示せ。

(2) $n\le 10$ の範囲で、$2^n+1$ が素数となる $n$ をすべて求め、そのときの $2^n+1$ の値を答えよ。

方程式 $x^2+y^2+z^2=2023$ を満たす整数 $x,y,z$ は存在しないことを示せ。

$x^2-2y^2=1$ を満たす自然数の組 $(x,y)$ を考える。

(1) $(x,y)$ がこの方程式を満たすならば、$(3x+4y,2x+3y)$ も満たすことを示せ。

(2) $x$ が小さい方から4番目の組を求めよ。

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$ を満たす自然数の組 $(x,y,z)$($x\le y\le z$)をすべて求めよ。

$p$ を素数とし、$M=2^p-1$ も素数であるとする。$N=2^{p-1}M$ とおく。

(1) $N$ の正の約数の総和が $2N$ に等しいことを示せ。

(2) $p=5$ のときの $N$ を求め、(1)の等式が成り立つことを確かめよ。

$n$ を2以上の自然数とする。$n$ の正の約数すべての積が $n^3$ に等しいような $n$ のうち、最小のものを求めよ。

$n$ を自然数とする。$n!+1$ と $(n+1)!+1$ の最大公約数を求めよ。