メルセンヌ素数と完全数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 約数の総和は、素因数分解から機械的に計算できる。$N=2^{p-1}\cdot M$($M$ は奇素数)の約数は「$2^i$($i=0,\dots ,p-1$)」と「$2^{i}M$」で全部だ。だから総和は $(1+2+\cdots +2^{p-1})(1+M)$ という積にまとまる。

ここで、等比数列の和 $1+2+\cdots +2^{p-1}=2^p-1$ がちょうど $M$ 自身である、という円環に気づくのが急所。あとは掛けるだけで $2N$ が現れる。

① 総和を積の形にする((1)の証明)。 $N=2^{p-1}M$ で $M$ は奇素数だから、約数の総和 $\sigma (N)$ は

$$\sigma (N)=(1+2+2^2+\cdots +2^{p-1})(1+M)=(2^p-1)(M+1)$$

② $M=2^p-1$ を代入する。

$$\sigma (N)=M(M+1)=M\cdot 2^p=2\cdot 2^{p-1}M=2N$$

これが示すべき等式。自分自身を除いた約数の和が $\sigma (N)-N=N$。つまり $N$ は「自分以外の約数の和が自分に一致する数」(完全数)である。

③ $p=5$ で確かめる((2)の答え)。 $M=2^5-1=31$ は素数で、$N=2^4\cdot 31=496$。約数の総和は

$$\sigma (496)=(1+2+4+8+16)(1+31)=31\cdot 32=992=2\cdot 496$$

たしかに成り立つ。

まとめ: 等比数列の和 $1+2+\cdots +2^{p-1}=2^p-1$ がそのまま $M$ に戻ってくる、という一致が証明の心臓部。$2^p-1$ 型の素数(メルセンヌ素数)1つにつき、完全数が1つ生まれる。

発展 — 一歩先へ。 偶数の完全数は、すべてこの $2^{p-1}(2^p-1)$ の形に限られる(オイラーの証明)。一方、奇数の完全数は「存在するかどうか」自体が2000年以上未解決のままだ。本問の等式は、その壮大な問いの入り口に立っている。

別解

約数を書き並べて2系列を見る(具体で確かめるルート)。 $p=5$ の $N=496$ で、約数を実際に全部書いてみよう。

$$1,2,4,8,16,31,62,124,248,496$$

前半は $2^i$ の系列、後半はその31倍の系列だ。和を系列ごとに取ると

• 前半: $1+2+4+8+16=31$
• 後半: $31\times (1+2+4+8+16)=31\times 31=961$

合計 $31+961=31\times 32=992=2\times 496$。

この計算を眺めると、証明の構造が目に見える。「前半の和がちょうど31($=M$)になる」から、全体が $M(M+1)=M\cdot 2^p$ ときれいに畳まれるのだ。一般の $p$ の証明(本解)は、この表の風景をそのまま文字にしたものである。