循環小数を既約分数で表す

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 循環小数を分数にする定番。$x$ とおき、循環節の桁数だけ小数点をずらして引く。

$x=0.135135\cdots$ の循環節は $135$ の $3$ 桁。$3$ 桁ずらすには $1000$ 倍する。

$1000x=135.135135\cdots$ から $x$ を引くと、循環部分が打ち消し合って $1000x-x=135$。$x=\frac{135}{999}$。あとは約分する。

① 引き算で循環を消す。 $x=0.135135135\cdots$ とおく。循環節 $3$ 桁だから

$$1000x=135.135135\cdots$$

辺々引くと

$$1000x-x=135.135\cdots -0.135\cdots =135$$

② 分数にする。

$$999x=135⟹x=\frac{135}{999}$$

③ 約分する。 $135=27\cdot 5$、$999=27\cdot 37$。最大公約数は $27$ だから

$$x=\frac{135}{999}=\frac{5}{37}$$

まとめ:循環小数は「$10^{(\text{循環節の桁数})}$ 倍して引く」で分数化。循環節 $3$ 桁なら $\times 1000$、分母は $999$。最後に約分して既約分数にする($\frac{135}{999}=\frac{5}{37}$)。

発展 — 一歩先へ。 循環小数が必ず有理数なのは、公比 $\frac{1}{10^k}$ の無限等比級数が収束するから。逆に、有理数 $\frac{p}{q}$ の小数展開は必ず有限か循環する(余りが $q$ 通りしかなく、いつか繰り返す=鳩の巣原理)。循環節の長さは、$10$ の $\mathrm{mod}q$ での位数で決まる。$\frac{5}{37}$ の循環節が $3$ 桁なのは $10^3\equiv 1(\mathrm{mod}37)$ だからだ。

別解

別解 — 循環小数を無限等比級数として和で出す(得意な人向けの視点)。 $0.135135\cdots$ を、$135$ が $3$ 桁ごとに繰り返す無限等比級数とみる。

$$0.\dot{1}3\dot{5}=\frac{135}{1000}+\frac{135}{1000^2}+\frac{135}{1000^3}+\cdots .$$

初項 $\frac{135}{1000}$、公比 $\frac{1}{1000}$ の無限等比級数。和の公式 $\frac{\text{初項}}{1-\text{公比}}$ で

$$\frac{135/1000}{1-1/1000}=\frac{135/1000}{999/1000}=\frac{135}{999}=\frac{5}{37}.$$

$1000x-x$ で引く本解と同じ $\frac{135}{999}=\frac{5}{37}$ に着く。じつは「$1000x$ から $x$ を引く」操作は、等比級数の和の公式 $S-rS=$ 初項 の変形そのもの。循環小数が必ず有理数(分数)になるのは、公比 $\frac{1}{10^k}<1$ の等比級数が必ず収束するからだ。