数学A / 整数の性質

2つの余りの条件を満たす整数

★★★ 応用余りによる分類最小公倍数

問題

$3$ で割ると $2$ 余り、 $5$ で割ると $3$ 余る自然数について、次の問いに答えよ。

(1) このような自然数を、小さいほうから $2$ つ求めよ。

(2) このような自然数のうち、 $2$ 桁で最大のものを求めよ。

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『 $3$ で割ると $2$ 余る数』を書き出し、その中で『 $5$ で割ると $3$ 余る』最初の数を見つける。見つかれば、あとは $3$ と $5$ の最小公倍数 $15$ ごとに同じ条件の数が並ぶ。

解答・解説

2つの余りの条件を1つにまとめる。まず片方を満たす数を書き出し、その中からもう片方も満たす数を探すと、 $15$ ( $= 3 \times 5$ )ごとにくり返す規則が見える。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ つの余りの条件を、同時に満たす数を探したい。

まず片方の条件を満たす数を小さい順に書き出す。その列の中から、もう片方も満たす数を拾えばよい。

$1$ つ見つかれば、次からは $15 (= 3 \times 5)$ ごとに同じ条件の数が並ぶ。 $3$ と $5$ の余りが同時に元へ戻るのが、 $15$ 進むごとだからだ。

「複数の余り条件は、法の積を周期にして $1$ 本にまとまる」。この構造に気づけるかが主題だ。

重要連立合同(2つの余り条件)は、共通する数を書き出して周期(最小公倍数)で一般化

(1) まず『 $3$ で割ると $2$ 余る数』を小さい順に書く: $2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, \dots$ 。この中で『 $5$ で割ると $3$ 余る』ものを探すと、 $8$ ( $8 = 5 \times 1 + 3$ )が最初だ。

条件を両方満たす数は、 $3$ と $5$ の最小公倍数 $15$ ごとにくり返す(両方の余りが同時に元に戻るのが、 $15$ 進むごとだから)。だから $8$ の次は $8 + 15 = 23$ 。

$8, 23$

(2) 条件を満たす自然数は $8, 23, 38, 53, 68, 83, 98, 113, \dots$ と $15$ おきに並ぶ。 $2$ 桁( $99$ 以下)で最大のものは

$98$

(検算: $98 = 3 \times 32 + 2$ で余り $2$ 、 $98 = 5 \times 19 + 3$ で余り $3$ 。両方の条件に合う。)

発展 — 一歩先へ。 この「複数の余り条件を $1$ 本にまとめる」考え方は、中国剰余定理と呼ばれる。

法どうしが互いに素なら、それぞれの余りをどう指定しても、法の積を周期として解がちょうど $1$ 種類の余りに定まる。 $3$ と $5$ は互いに素だから、 $15$ を法として余りが $1$ つに決まった。

法が互いに素でないときは、余りの指定に食い違いが起きて解が無いこともある。互いに素という条件が効いていることを意識したい。

答

(1) $8, 23$ (2) $98$

別解 — 合同式で周期をそのまま導く(得意な人向けの視点)。 書き出して拾うかわりに、 $2$ つの条件を式で連立してみる。

条件は $x \equiv 2 (mod 3)$ と $x \equiv 3 (mod 5)$ 。前者から $x = 3 k + 2$ ( $k$ は整数)と書ける。

これを後者へ代入すると $3 k + 2 \equiv 3 (mod 5)$ 、つまり $3 k \equiv 1 (mod 5)$ 。両辺に $2$ を掛けると $6 k \equiv 2$ 、 $6 \equiv 1$ だから $k \equiv 2 (mod 5)$ 。

よって $k = 5 m + 2$ 、戻すと

$x = 3 (5 m + 2) + 2 = 15 m + 8.$

書き出しをしなくても、周期 $15$ と最小の解 $8$ が式から直接出た。 $2$ 桁で最大は $15 m + 8 \leq 99$ より $m = 6$ 、 $x = 98$ 。本解と同じ答えだ。