数学A / 整数の性質

n進法で表された数が立方数であること

★★★★ 難関n進法因数分解

問題

$n$ を $4$ 以上の整数とする。 $n$ 進法で $133 1_{(n)}$ と表される数は、ある整数の $3$ 乗であることを示せ。

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$n$ 進法の各桁は $n$ のべき乗の重み。 $133 1_{(n)}$ を位取りの意味で $n$ の式に直すと、見覚えのある展開の形になる。

解答・解説

方針

$n$ 進法の $133 1_{(n)}$ を $10$ 進法(位取りの意味)に直すと $1 \cdot n^{3} + 3 \cdot n^{2} + 3 \cdot n + 1$ 。これは二項展開 $(n + 1)^{3}$ にほかならない。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $n$ 進法の $133 1_{(n)}$ を、位取りの意味で $10$ 進法(通常の整数)に直す。各桁を $n$ のべきで重みづけると、 $133 1_{(n)} = 1 \cdot n^{3} + 3 \cdot n^{2} + 3 \cdot n + 1$ 。

この係数 $1, 3, 3, 1$ を見て気づきたい。パスカルの三角形の $3$ 段目、二項係数だ。

$1 \cdot n^{3} + 3 \cdot n^{2} + 3 \cdot n + 1 = (n + 1)^{3}$ 。だから $133 1_{(n)}$ は $(n + 1)^{3}$ 、整数の $3$ 乗。

重要

n

進法の

\overline{d_{3} d_{2} d_{1} d_{0}}_{(n)} = d_{3} n^{3} + d_{2} n^{2} + d_{1} n + d_{0}

① 位取りで $n$ の式に直す。 $133 1_{(n)}$ は、各桁 $1, 3, 3, 1$ に重み $n^{3}, n^{2}, n, 1$ を掛けて

$133 1_{(n)} = 1 \cdot n^{3} + 3 \cdot n^{2} + 3 \cdot n + 1 = n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1$

② 展開公式と見比べる。 係数 $1, 3, 3, 1$ は $(n + 1)^{3}$ の展開そのもの:

$(n + 1)^{3} = n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1$

よって

$133 1_{(n)} = (n + 1)^{3}$

は整数 $n + 1$ の $3$ 乗である。(証明終)

(注:各桁 $3$ が桁として意味をもつには $n \geq 4$ が必要。だから $n \geq 4$ という条件がついている。)

まとめ: $n$ 進法の数は「桁 × $n$ のべき」で $n$ の多項式になる。 $1331$ の係数 $1, 3, 3, 1$ は $(n + 1)^{3}$ の二項係数で、どんな $n$ ( $\geq 4$ )でも立方数になる。 $10$ 進で $1331 = 1 1^{3}$ なのも、この $n = 10$ の場合。

発展 — 一歩先へ。 $1 1^{k}$ の各進法表示が二項係数になるのは、 $11 = n + 1$ ( $n$ 進法)で $(n + 1)^{k}$ の展開係数が桁に並ぶから( $n \geq$ 最大係数のとき)。 $121 = 1 1^{2}$ 、 $1331 = 1 1^{3}$ 、 $14641 = 1 1^{4}$ はパスカルの三角形の各段。ただし $1 1^{5} = 161051$ で段( $1, 5, 10, 10, 5, 1$ )が繰り上がって崩れる。進法と二項定理の美しい出会いだ。

答

$133 1_{(n)} = n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1 = (n + 1)^{3}$ 。証明は解答参照

別解

別解 — $x = n + 1$ の展開として見る(得意な人向けの視点)。 $1331$ という桁の並びは、そもそも「 $11$ の $3$ 乗 $= 1331$ 」( $10$ 進法)を思い出させる。これは $n$ 進法でも同じ構造だ。

$n$ 進法で「 $1 1_{(n)}$ 」は $n + 1$ を表す。その $3$ 乗を $n$ 進法で書くと、二項展開

$(n + 1)^{3} = n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1$

の各係数 $1, 3, 3, 1$ が、 $n^{3}, n^{2}, n^{1}, n^{0}$ の位に並ぶ。ただし各係数が $n$ 未満( $n \geq 4$ なら $3 < n$ )なので、繰り上がりなしにそのまま桁になる。だから $(n + 1)^{3}$ は $n$ 進法で $133 1_{(n)}$ 。

逆に読めば、 $133 1_{(n)} = (n + 1)^{3}$ 。 $n \geq 4$ の条件は「係数 $3$ が $n$ 未満で繰り上がらない」ため。 $n = 3$ だと $3$ が桁に書けず繰り上がってしまう。パスカルの三角形の段( $1, 2, 1$ や $1, 4, 6, 4, 1$ )が、そのまま $1 1^{k}$ の各進法表示になる、という美しい事実の一例だ。

ポイント

$133 1_{(n)} = n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1$ 。
係数 $1, 3, 3, 1$ より $= (n + 1)^{3}$ (立方数)。

よくある間違い

$133 1_{(n)}$ を $10$ 進法に直すとき、位の重み $n^{3}, n^{2}, n, 1$ を誤る。
係数 $1, 3, 3, 1$ が二項係数( $(n + 1)^{3}$ の展開)だと気づかない。
$n \geq 4$ の条件(係数 $3$ が $n$ 未満で繰り上がらない)の意味に触れない。