n³−n が6の倍数であること

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $6$ の倍数は「$2$ の倍数 かつ $3$ の倍数」($2$ と $3$ は互いに素)。2つを別々に示せばよい。

鍵は因数分解だ。$n^3-n=n(n^2-1)=(n-1)n(n+1)$。連続する3つの整数の積になる。

連続2整数には必ず偶数が、連続3整数には必ず $3$ の倍数がある。だから積は $2$ でも $3$ でも割り切れる。因数分解が「構造」を見せてくれる、という体験の問題だ。

まず因数分解する。

$$n^3-n=n(n^2-1)=(n-1)n(n+1)$$

これは連続する $3$ つの整数の積だ。

連続する $3$ つの整数の中には、必ず偶数が(少なくとも1つ)ある → 積は $2$ の倍数。また、連続する $3$ つの整数の中には、必ず $3$ の倍数がちょうど1つある → 積は $3$ の倍数。

$2$ の倍数でも $3$ の倍数でもあり、$2$ と $3$ は互いに素だから、積は $2\times 3=6$ の倍数だ。

よって $n^3-n$ は $6$ の倍数である。$■$

(『$2$ の倍数 かつ $3$ の倍数 ⇒ $6$ の倍数』が使えるのは、$2$ と $3$ が互いに素だから。$4$ の倍数かつ $6$ の倍数でも $24$ の倍数とは限らないのと対照的だ。)

発展 — 一歩先へ。 一般に「連続する $k$ 個の整数の積は $k!$ の倍数」が成り立つ(組合せの数 ${}_n{\mathrm{C}}_k$ が整数であることと同じ内容だ)。今日の $6=3!$ はその $k=3$ の場合である。

$n^5-n$ は $30$ の倍数、$n^7-n$ は $42$ の倍数。これらも因数分解と余りの分類の合わせ技で示せる、格好の練習台だ。指数と法の間の規則性に気づけたら、フェルマーの小定理という深い世界の入り口に立っている。

別解

因数分解に気づけなくても、余りの分類で力ずくの証明ができる。

$6$ で割った余りで、整数を $6$ グループに分ける。$n=6k+r$($r=0,1,2,3,4,5$)の各場合について、$n^3-n$ を $6$ で割った余りは、$r^3-r$ の余りと一致する(展開すると $r^3-r$ 以外の項は全部 $6k$ を因数に持つからだ)。

そこで $r^3-r$ を6通り計算する。

$$0,0,6,24,60,120$$

すべて $6$ の倍数。よって、どの整数 $n$ でも $n^3-n$ は $6$ の倍数だ。

本解の因数分解ルートは「なぜ成り立つか」が見える。分類ルートは、ひらめきゼロでも必ず完走できる。両方持っていると、初見の整除の証明で立ち往生しなくなる。