x²−2y²=1 の自然数解

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (1)の写像で $(3,2)$ から次々に解が作れる。だが「4番目」と言い切るには、この列がすべての解を尽くしていることが要る。

そこで逆向きの写像 $(x,y)\mapsto (3x-4y,3y-2x)$ を考える。これも解を解に移し、しかも($y\ge 3$ の解なら)$x$ を真に小さくする。どんな解もこの下降を繰り返すと、いつか最小解 $(3,2)$ に落ちる。つまり、逆に $(3,2)$ から昇る列がすべての解だ。

生成(作る)と下降(全部であることの保証)の両輪で、解の全リストが確定する。

① (1) の証明。 代入して展開する:

$$(3x+4y{)}^2-2(2x+3y{)}^2=(9x^2+24xy+16y^2)-2(4x^2+12xy+9y^2)=x^2-2y^2=1$$

② 解の列を作る。 最小の解は $y=1,2$ を試して $(3,2)$($y=1$ は $x^2=3$ で不適)。(1)の写像を繰り返すと

$$(3,2)\to (17,12)\to (99,70)\to (577,408)$$

($x$ は $3x+4y>x$ で真に増えるから、この列は $x$ の小さい順に並ぶ。)

③ この列で全部であること。 解 $(x,y)$ に対し $(x^{\prime },y^{\prime })=(3x-4y,3y-2x)$ とおくと、①と同じ展開で $x^{\prime 2}-2y^{\prime 2}=1$。さらに $x^2=2y^2+1$ を使うと

• $x^{\prime }>0$: $3x>4y⟺9x^2>16y^2⟺9(2y^2+1)>16y^2⟺2y^2+9>0$ で常に成立
• $y^{\prime }\ge 1$: $3y>2x⟺9y^2>4x^2=8y^2+4⟺y^2>4$、つまり $y\ge 3$ なら成立
• $x^{\prime }<x$: $3x-4y<x⟺x<2y⟺x^2<4y^2⟺2y^2+1<4y^2$ で常に成立

よって $y\ge 3$ のどんな解も、下降するとより小さい自然数解に移る。下降を繰り返すと $y\le 2$ の解、すなわち $(3,2)$ に必ず到達する。つまりすべての解は、$(3,2)$ から②の列を昇って得られるものに限る。

④ 答え。 4番目の組は $(x,y)=(577,408)$。(検算: $577^2-2\cdot 408^2=332929-332928=1$。)

まとめ: 「作れる」ことと「それで全部」は別の仕事だ。無限降下の親戚である下降の議論が「間に解はない」を保証して、はじめて「4番目」が確定する。

発展 — 一歩先へ。 $\frac{577}{408}=1.414215\cdots$ は $\sqrt{2}=1.414213\cdots$ と小数第5位まで一致する。$x^2-2y^2=1$ の解は $\sqrt{2}$ の最良クラスの近似分数を吐き出す機械で、この型の方程式はペル方程式と呼ばれ、連分数の理論とつながっている。

別解

$(3+2\sqrt{2})$ 倍の正体(数の世界の掛け算)。 (1)の写像は、じつは「数を掛けているだけ」だ。

左辺は $x^2-2y^2=(x+y\sqrt{2})(x-y\sqrt{2})$ と因数分解できる。そこで解 $(x,y)$ を数 $x+y\sqrt{2}$ で代表させる。$(3,2)$ は $3+2\sqrt{2}$ だ。掛け算してみると

$$(x+y\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})=(3x+4y)+(2x+3y)\sqrt{2}$$

— (1)の写像そのものが現れた。積 $(x+y\sqrt{2})(x-y\sqrt{2})=1$ どうしを掛けても積は1のままだから、解が解に移るのは当然だったのだ。

この見方の御利益は計算にもある。4番目の解は $(3+2\sqrt{2}{)}^4$ で、2乗を2回すればよい:

$$(3+2\sqrt{2}{)}^2=17+12\sqrt{2},(17+12\sqrt{2}{)}^2=577+408\sqrt{2}$$

3回の写像が、2回の平方に縮んだ。「解の変換=数の掛け算」という視点は、この型の方程式の全理論を貫く背骨である。