数学A / 整数の性質

分数が整数になる整数

★★ 標準約数の利用分数が整数になる条件

問題

$\frac{2 n + 7}{n + 2}$ が整数となるような整数 $n$ をすべて求めよ。

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分子 $2 n + 7$ を分母 $n + 2$ で割って『(整数) $+ \frac{定数}{n + 2}$ 』に分ける。 $n + 2$ がその定数の約数であればよい — 整数 $n$ なので、 $n + 2$ は負の約数もとりうる。

解答・解説

分子を分母で割って『整数 $+$ 余りの分数』に分ける。残った分数が整数になる条件は『分母が余りの約数』— 今回は整数 $n$ なので、負の約数も忘れずに。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分数のままでは整数かどうか判定できない。まず分子を分母で割って、「整数+余りの分数」に分ける。

$\frac{2 n + 7}{n + 2} = 2 + \frac{3}{n + 2}$ 。全体が整数になるのは、残った $\frac{3}{n + 2}$ が整数のとき。

つまり「 $n + 2$ が $3$ の約数」だ。整数の世界なので、約数には負も入る。 $n + 2 = \pm 1, \pm 3$ の4つを検分する。

分子を分母で割る。 $2 n + 7 = 2 (n + 2) + 3$ なので

$\frac{2 n + 7}{n + 2} = \frac{2 ( n + 2 ) + 3}{n + 2} = 2 + \frac{3}{n + 2}$

$2$ は整数だから、全体が整数になるのは $\frac{3}{n + 2}$ が整数のとき。つまり $n + 2$ が $3$ の約数。

$3$ の約数は、正と負を合わせて $\pm 1, \pm 3$ (整数 $n$ なので負も考える)。

$n = - 5, - 3, - 1, 1$

(自然数のときと違い、整数では約数の『マイナス側』も忘れないのがポイントだ。)

発展 — 一歩先へ。 「分けて、残りの分数の分母を約数で縛る」型は、分母が2次式になっても、 $x y + x + y$ 型の方程式(因数分解して約数のペアで解く)に姿を変えても、芯は同じだ。定数だけを残して約数の有限性に持ち込む、という設計である。

整数問題の三種の神器「因数分解・余りの分類・範囲で挟む」のうち、今日のは因数分解(約数)の技。どの神器で斬るかを見立てるのが、整数問題の楽しさだ。

答

$n = - 5, - 3, - 1, 1$

割り算の変形をせず、「約数の関係」だけで攻める道もある。

$\frac{2 n + 7}{n + 2}$ が整数ということは、 $n + 2$ が $2 n + 7$ を割り切るということだ。

一方、 $n + 2$ は $2 (n + 2) = 2 n + 4$ も当然割り切る。割り切る2つの数の差も割り切るから

$(2 n + 7) - (2 n + 4) = 3$

も割り切る。つまり $n + 2$ は $3$ の約数で、 $n + 2 = \pm 1, \pm 3$ 。ここからは本解と同じだ。

分数の変形( $2 + \frac{3}{n + 2}$ の形を作る)と、約数の差の議論。どちらも「 $n$ を消して定数 $3$ を残す」同じ狙いの2つの言い方である。分子の係数が複雑で割り算しにくいときは、こちらの引き算方式が小回りが利く。