数学A / 整数の性質

(2+√3)ⁿ の整数部分は奇数(共役と漸化式)

実戦編整数の性質数列漸化式共役単元横断

問題

$n$ を自然数とする。 $a_{n} = (2 + 3)^{n} + (2 - 3)^{n}$ について、(1) $a_{n}$ は整数で $a_{n + 1} = 4 a_{n} - a_{n - 1}$ を満たすことを示せ。

(2) $(2 + 3)^{n}$ の整数部分は奇数であることを示せ。

ヒントを見る

(1) $2 + 3$ と $2 - 3$ は和 $4$ 、積 $1$ 。だから両方 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ の解で $a_{n + 1} = 4 a_{n} - a_{n - 1}$ 。(2) $0 < 2 - 3 < 1$ に注目。 $a_{n}$ の偶奇は?

解答・解説

方針

(1) $2 \pm 3$ が満たす2次方程式から3項間漸化式を導き、初期値が整数であることを示す。(2) 共役 $(2 - 3)^{n}$ が $0$ と $1$ の間にあることと、 $a_{n}$ の偶奇を使う。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $(2 + 3)^{n}$ 単独は無理数で扱いにくい。だが共役 $(2 - 3)^{n}$ を足すと、 $3$ の部分が打ち消し合って整数になる。これが $a_{n}$ の正体だ。

$2 \pm 3$ は和 $4$ ・積 $1$ の $2$ 数だから、 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ の解。ここから $3$ 項間漸化式が出て、 $a_{n}$ が整数であることも芋づる式に従う。

(2) の急所は $0 < 2 - 3 < 1$ 。 $n$ 乗しても $0$ と $1$ の間の小さな数のままだ。だから $(2 + 3)^{n} = a_{n} - (2 - 3)^{n}$ の整数部分は $a_{n} - 1$ で、あとは $a_{n}$ の偶奇を漸化式で追えばよい。

① 整数と漸化式。 $2 + 3, 2 - 3$ は和 $4$ 、積 $1$ だから、ともに $x^{2} = 4 x - 1$ を満たす。よって $(2 \pm 3)^{n + 1} = 4 (2 \pm 3)^{n} - (2 \pm 3)^{n - 1}$ 。両者を足すと $a_{n + 1} = 4 a_{n} - a_{n - 1} .$ $a_{0} = 2, a_{1} = (2 + 3) + (2 - 3) = 4$ は整数で、漸化式が整数係数だから、すべての $a_{n}$ は整数。

② $a_{n}$ は偶数。 $a_{0} = 2, a_{1} = 4$ はともに偶数。 $a_{n + 1} = 4 a_{n} - a_{n - 1} \equiv - a_{n - 1} \equiv a_{n - 1} (mod 2)$ だから、偶奇は $2$ つ前と同じ。ゆえに全ての $a_{n}$ は偶数。

③ 整数部分は奇数。 $0 < 2 - 3 < 1$ より $0 < (2 - 3)^{n} < 1$ 。 $(2 + 3)^{n} = a_{n} - (2 - 3)^{n} .$ $a_{n}$ は整数で、そこから $0$ と $1$ の間の数を引くので、 $(2 + 3)^{n}$ の整数部分は $a_{n} - 1$ 。 $a_{n}$ が偶数だから $a_{n} - 1$ は奇数。よって整数部分は奇数。

重要

x = a_{n} - ε

(

a_{n}

整数、

0 < ε < 1

)の整数部分は

a_{n} - 1

まとめ 共役を足すと整数 $a_{n}$ 、漸化式 $a_{n + 1} = 4 a_{n} - a_{n - 1}$ で偶数と分かる。 $(2 - 3)^{n} \in (0, 1)$ より $(2 + 3)^{n}$ の整数部分は $a_{n} - 1$ (奇数)。整数・数列・共役の融合。

発展 — 一歩先へ。 同じ仕掛けは $b_{n} = (1 + 2)^{n} + (1 - 2)^{n}$ でも動く( $b_{n + 1} = 2 b_{n} + b_{n - 1}$ で全項偶数)。ただし $1 - 2$ は負なので $(1 - 2)^{n}$ の符号が交互に変わり、 $(1 + 2)^{n}$ の整数部分は $n$ が偶数なら奇数 $b_{n} - 1$ 、 $n$ が奇数なら偶数 $b_{n}$ と、偶奇が入れ替わる。共役の符号まで観察が要る分、一段むずかしい。

答

$2 \pm 3$ は $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ の解なので $a_{n + 1} = 4 a_{n} - a_{n - 1}$ 、 $a_{0} = 2, a_{1} = 4$ で整数。 $0 < (2 - 3)^{n} < 1$ かつ $a_{n}$ は偶数なので、 $(2 + 3)^{n}$ の整数部分 $= a_{n} - 1$ は奇数。

別解

別解 — 二項定理で開いて直接見る(苦手な人向け)。 $(2 + 3)^{n}$ と $(2 - 3)^{n}$ を二項定理で展開して足すと、何が起きるかを直接見てみる。

$3$ の奇数乗の項は、 $+ 3$ と $- 3$ で符号が逆になり、足すと消える。偶数乗の項は $(3)^{2 j} = 3^{j}$ が整数で、同じものが $2$ 回現れて $2$ 倍で残る。つまり

$a_{n} = 2 j \geq 0 \sum (2 j n) 2^{n - 2 j} 3^{j} .$

これは「 $2 \times$ (整数)」の形そのものだ。 $a_{n}$ が整数であることも、偶数であることも、この式から一目で分かる(本解は偶奇を漸化式の帰納で追うが、こちらは形から即座に出る)。

漸化式の計算の速さと、展開の見通しのよさ。両方を持っておくと確かめ合いができる。

ポイント

共役を足すと無理数部分が消えて整数 $a_{n}$ 。
$2 \pm 3$ は $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ の解、 $a_{n + 1} = 4 a_{n} - a_{n - 1}$ 。
$0 < (2 - 3)^{n} < 1$ と $a_{n}$ が偶数から、整数部分 $a_{n} - 1$ は奇数。

よくある間違い

整数部分を $a_{n}$ と答える(正しくは $a_{n} - 1$ 。 $(2 + 3)^{n} = a_{n} - (2 - 3)^{n}$ で、小さな正の数を引いた分だけ $a_{n}$ を下回る)。
$0 < 2 - 3 < 1$ の確認を飛ばす(これがないと $(2 - 3)^{n}$ が $0$ と $1$ の間にとどまる保証がない)。
$a_{n}$ が偶数であることを初期値だけで済ませ、漸化式 $a_{n + 1} = 4 a_{n} - a_{n - 1}$ (偶数の $4$ 倍から偶数を引くと偶数)による帰納を書かない。