数学A / 整数の性質
ピタゴラス数の積は60の倍数(合同で場合分け)
問題
を満たす自然数 について、積 は の倍数であることを示せ。
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。 で割り切れることを別々に。平方数 は だけ、 は 、 は 。 でどれかが割り切れる。
解答・解説
方針
なので、 が で割り切れることを個別に示す。平方数を で見ると取りうる値が限られ、 のどれかが各素因数で割り切れることが従う。
解答
⓪ 発想 — どう考え始めるか。 と分解する。 は互いに素だから、 が でも でも でも割り切れることを別々に示せば十分だ。
カギは「平方数を小さい数で割った余りはごく限られる」こと。 では 、 でも 、 では しかない。
この制約を に当てはめる。「どれも割り切れない」と仮定した瞬間に余りが合わなくなり、 のどれかが各素因数を担うと分かる。
① の倍数。 もし がともに で割れないなら 、。だが平方数は で になれない。矛盾。よって の少なくとも一方は の倍数、 は の倍数。
② の倍数。 もし がともに奇数なら 、。だが平方数は で になれない。よって の少なくとも一方は偶数。偶数の平方は の倍数(かつ奇数²は の考察で、 の一方は の倍数になる)。ていねいには、 の一方が偶数で、その偶数 について、 の偶奇から (または )が の倍数と分かる。いずれにせよ は の倍数。
③ の倍数。 もし がすべて で割れないなら、平方は で か 。 を の組で調べると、。 に一致するのは無い( はいずれも不適)。矛盾。よって のどれかは の倍数、 は の倍数。
まとめ 。平方数の の値が限られることを使うと、 のどれかが各素因数で割り切れ、 は すべての倍数。よって の倍数。整数(合同)と場合分けの融合。
発展 — 一歩先へ。 の担当は別々でもよいし、 つの数が兼任してもよい( では が と を兼任する)。また はこれ以上大きくできない。 自身の積が だからで、 は「すべてのピタゴラス数の積の最大公約数」である。
。 が の倍数・ の倍数・ の倍数であることを、平方数の の値で場合分けして示す。
別解
別解 — 一般形 で見る(得意な人向けの高い視点)。 原始的な( 数に共通因数がない)ピタゴラス数は、互いに素で偶奇の異なる を使って 、、 と書けることが知られている。一般の解はその整数倍だから、原始解で を示せば十分だ。
- の倍数: は偶奇が異なるので は偶数。よって は の倍数。
- の倍数: とも で割れないなら で、。
- の倍数: とも で割れないなら 。同じ値なら 、違う値なら 。
どの素因数も の誰かが必ず担う。本解のもどかしい の議論も、一般形の上では「 が偶数」の一言に整理される。
ポイント
- 、各素因数で割り切れることを別々に示す。
- 平方数の の取りうる値が限られる。
- に当てはめ、どれかが割り切れると背理法で示す。
よくある間違い
- 平方数の余りの表( で など)を確認せずに使う( を割ってみるだけの数行を惜しまない)。
- の段で「 の一方が偶数」まで示して満足する(積に因数 が 個では足りない。その偶数が実は の倍数であることまで詰める)。
- の段で を候補から外す( や と違い、 は が担うことがある。例: では )。