数学A / 整数の性質

奇数の平方から1を引くと8の倍数

★★★ 応用倍数の証明連続する整数の積

問題

$n$ を奇数とする。 $n^{2} - 1$ は $8$ の倍数であることを証明せよ。

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$n^{2} - 1$ を因数分解する。 $n$ が奇数だと $n - 1$ 、 $n + 1$ はどちらも偶数。連続する2つの偶数のうち、一方は必ず $4$ の倍数 — だから積は?

解答・解説

$n^{2} - 1$ を因数分解すると $(n - 1) (n + 1)$ 。 $n$ が奇数なら $n - 1$ 、 $n + 1$ はどちらも偶数 — しかも連続する偶数なので、片方は $4$ の倍数になる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 まず $n^{2} - 1$ を $(n - 1) (n + 1)$ と因数分解する。

$n$ が奇数なら、両隣の $n - 1$ と $n + 1$ はどちらも偶数だ。しかも差が $2$ の「連続する $2$ つの偶数」になっている。

連続する偶数の片方は必ず $4$ の倍数だから、積は $2 \times 4 = 8$ で割り切れる。

「因数分解して連続性を観察する」という整数証明の型に、偶数の連続という一段深い見方を重ねるのがポイントだ。

重要連続する2つの偶数の積は

8

の倍数(片方は

4

の倍数だから)

因数分解する。

$n^{2} - 1 = (n - 1) (n + 1)$

$n$ は奇数なので、 $n - 1$ と $n + 1$ はどちらも偶数だ。しかもこの2つは連続する偶数(差が $2$ )。

連続する $2$ つの偶数のうち、一方は必ず $4$ の倍数になる( $\dots, 4, 6, 8, 10, \dots$ を見ると、 $4$ の倍数が1つおきに現れる)。だから積 $(n - 1) (n + 1)$ は『 $2$ の倍数 × $4$ の倍数』を含み、 $8$ の倍数になる。

もっとはっきり示すには、 $n = 2 k + 1$ とおく。

$n^{2} - 1 = (2 k + 1)^{2} - 1 = 4 k^{2} + 4 k = 4 k (k + 1)$

$k (k + 1)$ は連続する $2$ 整数の積だから必ず偶数。よって $4 k (k + 1) = 4 \times (偶数) = 8 \times (整数)$ 、つまり $8$ の倍数だ。 $■$

発展 — 一歩先へ。 奇数を $2$ 乗すると $8$ で割った余りがいつでも $1$ になる、と言いかえてもよい。だから奇数の平方から $1$ を引けば必ず $8$ の倍数になる。

もっと深く割ると、奇数の $2$ 乗を $16$ で割った余りは $1$ か $9$ に限られる。 $8$ の倍数までは保証されるが、 $16$ の倍数になるとは限らない。

連続する整数の積が階乗の倍数になる、という一般則の一例でもある。連続 $2$ 整数の積は $2$ の倍数、連続 $3$ 整数の積は $6$ の倍数、と続く仲間だ。

答

$n^{2} - 1 = (n - 1) (n + 1)$ は連続する2つの偶数の積で $8$ の倍数(証明は解答参照)

別解 — 奇数の平方を $mod 8$ で調べる(得意な人向けの視点)。 因数分解のかわりに、奇数を $8$ で割った余りだけで一気に片づける。

奇数を $8$ で割った余りは $1, 3, 5, 7$ のどれか。これらを $2$ 乗して $8$ で割ると

$1^{2} = 1, 3^{2} = 9 \equiv 1, 5^{2} = 25 \equiv 1, 7^{2} = 49 \equiv 1 (mod 8) .$

どの奇数でも平方は $8$ で割ると余り $1$ 。つまり $n^{2} \equiv 1 (mod 8)$ だから

$n^{2} - 1 \equiv 0 (mod 8) .$

場合分けは $4$ 通りだけで済み、連続する偶数を持ち出さずに $8$ の倍数だと分かる。本解と同じ結論だ。