数学A / 整数の性質
倍数の判定法
問題
次の問いに答えよ。
(1) が の倍数か、 の倍数かを判定せよ。
(2) 桁の整数 が の倍数となるような、十の位の数字 (〜)をすべて求めよ。
(3) 桁の整数 が の倍数となるような、十の位の数字 を求めよ。
ヒントを見る
・ の倍数は『各位の数字の和』が ・ の倍数かで決まる。 の倍数は『下2桁』だけ見ればよい。まず、その和や下2桁を書き出そう。
解答・解説
方針
倍数かどうかは、割り算しなくても『判定法』で見分けられる。 と は各位の数字の和を、 は下2桁だけを見る — これがカギだ。
解答
⓪ 発想 — どう考え始めるか。 倍数の判定法は、どこを見るかが数によって違う。ここを取り違えないことがすべてだ。
- の倍数・ の倍数 → 各位の数字の和を見る
- の倍数 → 下 桁だけを見る
- ・ の倍数 → 一の位だけを見る
(1) の各位の和は 。 は の倍数だから、 も の倍数。 の倍数は自動的に の倍数でもある。
(2) の倍数は下 桁で決まる。上の は関係ない。 が の倍数になる を探せばよい。
(3) が の倍数。 は 〜 の 桁だから、和は 〜 の範囲 — しかありえない。
(1) の倍数・ の倍数は、各位の数字の和で見分けられる。 の各位の和は
は の倍数(だから の倍数でもある)。よって は の倍数でも の倍数でもある。
(なぜ和で判定できるのか。 で、、。 と は の倍数だから、 を で割った余りは『各位の和 を で割った余り』と同じになる。)
(2) の倍数かどうかは、下2桁だけで決まる( が の倍数なので、百の位から上は で割り切れる)。 の下2桁は 。これが の倍数になる を探す。 のうち で割り切れるのは 。よって
(3) の各位の和は 。 は 〜 なので、 は 〜。この中の の倍数は だけなので 、つまり
発展 — 一歩先へ。 ここで使った「 と分解する」という技は、合同式という記号を使うと驚くほど簡潔になる。
(「 を で割った余りは 」と読む。) 合同式は掛け算・足し算がそのままできるので
したがって
行で証明が終わる。
の判定なら を使えば、百の位から上が丸ごと消える。「余りだけを追いかける」という発想が、桁の話を一瞬で片づける。
合同式は、この単元(整数の性質)全体を貫く道具である。倍数判定、余りの分類、不定方程式、 進法 — すべてが「余りの世界」の話だ。 つの記号が、バラバラに見えた話を 本につないでくれる。
(1) の倍数かつ の倍数 (2) (3)
別解
なぜ「各位の和」で の倍数が分かるのか。なぜ は「下 桁」なのか。 理由を知れば、判定法は暗記事項でなくなる。忘れてもその場で作り直せる。
の判定法のからくり。
を位ごとにばらす。
ここで 、 と書きかえる。
前半は問答無用で の倍数( も も の倍数だから)。だから が の倍数かどうかは、後半の「各位の和」だけで決まる。
はすべて の倍数なので、この理屈は何桁でも通用する。「 を で割ると 余る」という、たった つの事実が判定法の正体だ。
の判定法のからくり。
こちらは に注目する。 は の倍数だ。
百の位から上は、 が掛かっているので全部 の倍数。だから の倍数かどうかは下 桁だけで決まる。上の桁が何であろうと関係ない。
これで(2)が解ける。 が の倍数になるのは
同じ理屈で、判定法が次々に作れる。
- の倍数: が の倍数 → 下 桁を見る
- ・ の倍数: が でも でも割れる → 下 桁を見る
- の倍数: を で割ると 余る( と同じ理屈)→ 各位の和
の倍数も面白い。 を で割ると 余ると考えると、一の位から交互に して足した和( のような)で判定できる。 なら で の倍数ではない、と分かる(実際 )。
判定法は「 のべきを、その数で割った余り」から生まれる。 覚えるべきは 個の判定法ではなく、この つの仕組みである。
ポイント
- ・ の倍数 → 各位の数字の和で判定
- の倍数 → 下2桁で判定( が の倍数だから)
- の倍数なら必ず の倍数(逆は成り立たない)
よくある間違い
- の倍数を各位の和で判定しようとする(下2桁で見る)
- (3)で ()まで考えてしまう( は1桁)
- (2)で (つまり )を「04 は2桁でない」として除いてしまう( は4の倍数なので正しい解)