数学A / 整数の性質

3つの平方数の和で表せない数

最難関編合同式存在しないことの証明

問題

方程式 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2023$ を満たす整数 $x, y, z$ は存在しないことを示せ。

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解を実際に探すのは果てしないが、余りの世界なら候補は有限。平方数をある数で割った余りは驚くほど種類が少ない — 4で見て決まらなければ、もう一段細かい法で見るとどうか。

解答・解説

平方数を8で割った余りは 0, 1, 4 の3種類しかない。3つ足しても余り7は作れないが、2023 を8で割った余りは7 — この食い違いで矛盾を出す。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「解が存在しない」ことの証明は、うまい法(割る数)を選んで両辺の余りを比べ、矛盾を出すのが定石だ。

平方数は法4で余り 0, 1 の2種類。だが $2023 \equiv 3 (mod 4)$ は $1 + 1 + 1$ で作れてしまい、矛盾が出ない。

そこで一段細かく、法8で見る。平方数の余りは 0, 1, 4 の3種類しかなく、3つ足しても余り7だけは作れない。 $2023 = 8 \cdot 252 + 7$ だから、これで勝負がつく。法の選び方(4でだめなら8)が急所だ。

重要平方数を8で割った余りは 0, 1, 4 のみ。とくに奇数の平方は必ず

8 m + 1

の形

① 平方数の余りを分類する。 整数 $t$ を偶奇で分ける。

$t = 2 k$ のとき $t^{2} = 4 k^{2}$ 。 $k$ が偶数なら $16$ の倍数で余り0、 $k$ が奇数なら $4 \times (奇数)^{2}$ で余り4
$t = 2 k + 1$ のとき $t^{2} = 4 k (k + 1) + 1$ 。 $k (k + 1)$ は連続2整数の積で偶数だから、 $t^{2} = 8 m + 1$ の形で余り1

よって $x^{2}, y^{2}, z^{2}$ の8で割った余りはどれも 0, 1, 4 のいずれか。

② 3つの和の余りを調べる。 0, 1, 4 から3つ(重複可)選んで足した和は

$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12$

のいずれかで、8で割った余りとしては $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ のどれか。余り7だけは決して作れない。

③ 矛盾。 一方、 $2023 = 8 \cdot 252 + 7$ だから、 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2023$ の左辺の余りは7でなければならない。これは②に反する。よって整数解は存在しない。

まとめ: 「存在しない」は余りの世界へ持ち込む。平方数の余りの表(法8で 0, 1, 4)は、平方和の問題での定番の武器だ。実は $8 m + 7$ の形の数はどれも3つの平方数の和では表せない。2023はその一例にすぎない。

発展 — 一歩先へ。 逆も知られている。 $4^{a} (8 m + 7)$ の形「以外」の自然数は、必ず3つの平方数の和で表せる(ガウスの三平方の定理)。表せない数の正体まで完全に分かっている、という美しい完結だ。

答

存在しない(8で割った余りを比較して矛盾)

法4で追い込んでから、偶奇でとどめ(2段ロケット)。 法8の表を使わずに、法4と「連続整数の積」だけで落とす道もある。

まず法4。平方数の余りは 0 か 1 で、 $2023 \equiv 3 (mod 4)$ 。余り3を作る組合せは $1 + 1 + 1$ しかない。つまり、解があるなら $x, y, z$ はすべて奇数だ。

そこで $x = 2 a + 1, y = 2 b + 1, z = 2 c + 1$ とおいて代入する。 $(2 a + 1)^{2} = 4 a (a + 1) + 1$ だから

$4 {a (a + 1) + b (b + 1) + c (c + 1)} + 3 = 2023$

整理して $a (a + 1) + b (b + 1) + c (c + 1) = 505$ 。

ここでとどめ。 $a (a + 1)$ は連続2整数の積で必ず偶数。3つ足しても偶数だ。ところが右辺505は奇数。矛盾。

法8の「余りの表」を暗記していなくても、法4 → 奇数を強制 → 連続積の偶奇、という自前の2段で同じ結論に届く。実はこの計算は、法8の表の「奇数の平方は $8 m + 1$ 」を自分の手で再発見していることに他ならない。