整数解をもたないことの証明(無限降下)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「解が存在しない」を示すには背理法(または無限降下法)。まず平方を $3$ で割った余りを調べる。

平方 $\mathrm{mod}3$ は $0$ か $1$ だけ($0^2\equiv 0$、$(\pm 1{)}^2\equiv 1$)。だから $x^2+y^2\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ になるのは $x^2\equiv 0$ かつ $y^2\equiv 0$、すなわち $x,y$ ともに $3$ の倍数のときだけ。

すると $x=3x^{\prime }$、$y=3y^{\prime }$ で、$9x^{\prime 2}+9y^{\prime 2}=3z^2$ から $z^2=3(x^{\prime 2}+y^{\prime 2})$、$z$ も $3$ の倍数。$x,y,z$ を $3$ で割った $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$ もまた解になる。これを繰り返すと、いくらでも小さい正の解ができて矛盾(無限降下)。

① $x,y$ が $3$ の倍数。 最小の正の解 $(x,y,z)$ があると仮定する。平方の余りは $0,1$ だから、$x^2+y^2$ を $3$ で割った余りは $0,1,2$ のいずれか。これが $3z^2$(=$3$ の倍数)に等しいには余り $0$、すなわち $x^2\equiv 0$ かつ $y^2\equiv 0(\mathrm{mod}3)$。よって $x,y$ はともに $3$ の倍数。

② $z$ も $3$ の倍数。 $x=3x^{\prime },y=3y^{\prime }$ とおくと $9x^{\prime 2}+9y^{\prime 2}=3z^2$、すなわち $3(x^{\prime 2}+y^{\prime 2})=z^2$。よって $z^2$ は $3$ の倍数、$z$ も $3$ の倍数。$z=3z^{\prime }$ とおくと

$$3(x^{\prime 2}+y^{\prime 2})=9z^{\prime 2}⟹x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=3z^{\prime 2}$$

③ 無限降下で矛盾。 $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=(x/3,y/3,z/3)$ も正の整数解で、もとより小さい。これは「最小の解」という仮定に反する(いくらでも小さい正の解が作れる)。よって正の整数解は存在しない。(証明終)

まとめ:$x^2+y^2=3z^2$ に解がないのは「平方の $3$ での余りが $0,1$」という制約から、解があれば $x,y,z$ が無限に $3$ で割れてしまうため。無限降下(最小の解を仮定して、より小さい解を作り矛盾)は、整数解の非存在証明の定番。

発展 — 一歩先へ。 $x^2+y^2=3z^2$ に解がないのは、「$3$ は $2$ 平方和で表せない素数($3\equiv 3(\mathrm{mod}4)$)」の反映。無限降下法はフェルマーが $x^4+y^4=z^4$ の非存在を示すのに使った由緒ある手法で、フェルマーの最終定理の証明の原型でもある。「最小の解があれば、より小さい解が作れる」という矛盾の作り方だ。

別解

別解 — $\mathrm{mod}3$ の矛盾だけで(無限降下を使わずに)示す(得意な人向けの視点)。 無限降下を持ち出さなくても、「互いに素な最小解」を仮定するだけで矛盾が出る。

もし正の整数解があるなら、$\gcd (x,y,z)=1$ となる解(共通因数を約分した“原始解”)が存在する。この原始解で考える。

平方 $\mathrm{mod}3$ は $0,1$ だから、$x^2+y^2\equiv 3z^2\equiv 0(\mathrm{mod}3)$ より $x\equiv y\equiv 0(\mathrm{mod}3)$。すると $x,y$ が $3$ の倍数で、$3z^2=x^2+y^2$ が $9$ の倍数、$z^2$ が $3$ の倍数、$z$ も $3$ の倍数。

$x,y,z$ がすべて $3$ の倍数 — これは $\gcd (x,y,z)=1$(原始解)に反する。矛盾。

無限に小さくしていく(本解の無限降下)代わりに、「最初から約分し切った原始解」を仮定すると、$1$ 回の $\mathrm{mod}3$ 計算で矛盾が出る。無限降下と「原始解の仮定」は同じことの表裏で、後者の方が短く書ける。