単位分数の和 1/2 への分解

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 3変数に方程式1本では、自由度が高すぎるように見える。だが $x\le y\le z$ から $\frac{1}{x}\ge \frac{1}{y}\ge \frac{1}{z}$。最大の項 $\frac{1}{x}$ は「3項の平均以上」つまり $\frac{1}{x}\ge \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}$、かつ単独では全体未満 $\frac{1}{x}<\frac{1}{2}$ だ。

この両側からのはさみうちで、$x$ は数個に絞られる。$x$ を固定すれば残りは2変数の同じ問題。同じ論法をもう一度使えば $y$ も絞られ、$z$ は式から自動的に決まる。

① $x$ を絞る。 $\frac{1}{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le \frac{3}{x}$ より $x\le 6$。また $\frac{1}{x}<\frac{1}{2}$ より $x\ge 3$。よって $x=3,4,5,6$。

② $x=3$ のとき。 $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{6}$、$y\le z$ だから $\frac{1}{6}\le \frac{2}{y}$ かつ $\frac{1}{y}<\frac{1}{6}$ より $7\le y\le 12$。順に $z$ を求めると

• $y=7$: $z=42$ / $y=8$: $z=24$ / $y=9$: $z=18$ / $y=10$: $z=15$ / $y=12$: $z=12$(いずれも整数で適)
• $y=11$: $\frac{1}{z}=\frac{1}{6}-\frac{1}{11}=\frac{5}{66}$ で $z$ が整数にならず不適

この場合5組。

③ $x=4,5,6$ のとき。 同じはさみうちで

• $x=4$: $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{4}$、$5\le y\le 8$ → $(4,5,20),(4,6,12),(4,8,8)$ の3組($y=7$ は不適)
• $x=5$: $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{10}$、$y\ge x=5$ かつ $\frac{3}{10}\le \frac{2}{y}$ より $y\le 6$ → $y=5$ で $z=10$ ✓、$y=6$ は不適。1組
• $x=6$: $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3}$、$y\ge 6$ かつ $\frac{1}{3}\le \frac{2}{y}$ より $y\le 6$ → $y=z=6$ の1組

④ 結論。 あわせて $5+3+1+1=10$ 組:

$$(3,7,42),(3,8,24),(3,9,18),(3,10,15),(3,12,12),(4,5,20),(4,6,12),(4,8,8),(5,5,10),(6,6,6)$$

まとめ: 「大小順をつける → 最大項をはさむ → 先頭から確定」の反復。無限にありそうな分数の分解が、はさみうち1つで有限の場合分けに落ちる。

発展 — 一歩先へ。 $\frac{4}{n}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ が すべての $n\ge 2$ で解けるか、という問い(エルデシュ・シュトラウス予想)は、いまだに未解決だ。単位分数の分解は、遊びのような見た目のまま現代数学の最前線につながっている。

別解

積の形に直す(因数分解の裏技)。 2変数に落ちた後の $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{6}$ は、分母を払って因数分解の形にできる。

$$6(y+z)=yz⟺yz-6y-6z+36=36⟺(y-6)(z-6)=36$$

あとは36の約数ペアを書き出すだけだ。$y\le z$ に対応して

$$(y-6,z-6)=(1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6)$$

の5組。$(y,z)=(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12)$ — ②の結果と一致する。$y=11$ が消える理由も明快で、$11-6=5$ が36の約数でないからだ。

$x=4$ の場合も同様に $(y-4)(z-4)=16$ から $(1,16),(2,8),(4,4)$ の3組。

「$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{k}$ ⟺ $(y-k)(z-k)=k^2$」という変形は、単位分数の2変数問題を約数の列挙に変える強力な道具だ(分子が1でないときは少し手直しがいる)。はさみうちと使い分けたい。