連続する4整数の積に1を加えると平方数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $4$ つの数をそのまま前から掛けて展開すると、$4$ 次式の海に溺れてしまう。

そこで「両端どうし」「内側どうし」で組んでみる。すると両方に同じかたまり $n^2+3n$ が現れる。この対称性の発見が全てだ。

かたまりを $1$ 文字 $u$ に置きかえると、積は $u(u+2)$ になる。$1$ を足すと $u(u+2)+1=(u+1{)}^2$ ときれいにまとまる。

「対称な組み方で共通のかたまりを作る」。これが式変形の発想になる。

$4$ つの整数を、両端どうし・内側どうしで組む。

$$n(n+3)=n^2+3n,(n+1)(n+2)=n^2+3n+2$$

どちらも $n^2+3n$ を含む。そこで $u=n^2+3n$ と置くと、積は

$$n(n+1)(n+2)(n+3)=(n^2+3n)(n^2+3n+2)=u(u+2)=u^2+2u$$

$1$ を加えると

$$u^2+2u+1=(u+1{)}^2$$

$u=n^2+3n$ を戻して

$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1{)}^2$$

$n^2+3n+1$ は整数だから、右辺は平方数だ。$■$

(例:$n=1$ なら $1\times 2\times 3\times 4+1=25=5^2$。確かに $n^2+3n+1=1+3+1=5$ の $2$ 乗になっている。)

発展 — 一歩先へ。 連続する $4$ つの整数の積は、いつでも平方数のちょうど $1$ 手前になる。$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1{)}^2$ がそれを保証する。

$4$ 数の並びを中心 $n+\frac{3}{2}$ のまわりで見ると、両端どうし・内側どうしがそれぞれ対称に並んでいる。その対称性が、共通のかたまりが現れる理由だ。

連続する整数の積は、階乗の倍数になったり平方数の近くに来たりと、きれいな性質を多く持つ。並びの対称性を利用するのが、こうした問題に共通する鍵になる。

別解

別解 — 小さい値で実験して答えを見つける(苦手な人向けの実験ルート)。 うまい組み方が見えないときは、まず具体的な $n$ で計算して規則を探す。

• $n=1$:$1\times 2\times 3\times 4+1=25=5^2$。
• $n=2$:$2\times 3\times 4\times 5+1=121=11^2$。
• $n=3$:$3\times 4\times 5\times 6+1=361=19^2$。

平方の中身 $5,11,19$ を見て、$n^2+3n+1$ に $n=1,2,3$ を入れると $5,11,19$ とぴったり一致する。そこで「$+1$ した数は $(n^2+3n+1{)}^2$ ではないか」と予想する。

予想を確かめるため、$(n^2+3n+1{)}^2$ を展開すると

$$(n^2+3n+1{)}^2=n^4+6n^3+11n^2+6n+1.$$

一方 $n(n+1)(n+2)(n+3)=n^4+6n^3+11n^2+6n$ だから、$1$ を足すとぴったり一致する。予想は正しく、本解と同じ答えになる。