循環小数を分数で表す

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 循環小数のやっかいさは無限に続くこと。同じ無限部分を持つ2つの数を作って、引き算で消す。

くり返しが2桁だから $100$ 倍だ。$100x-x=45.4545\dots -0.4545\dots =45$ で、$x=\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$。

(2)は逆向きの問いで、「なぜこの分数は循環するのか」。分母の素因数に注目する。$10$ 進小数で割り切れるのは分母が $2$ と $5$ だけでできているときで、$11$ はそこから外れている。

(1) $x=0.454545\dots$ とおく。くり返しが $2$ 桁なので、$100$ 倍する。

$$100x=45.454545\dots$$

もとの $x=0.454545\dots$ を引くと、小数点以下のくり返しがぴったり打ち消される。

$$100x-x=45\text{すなわち}99x=45$$

よって

$$x=\frac{45}{99}=\frac{5}{11}$$

(2) 既約分数 $\frac{5}{11}$ の分母は $11$。$11$ は $2$ でも $5$ でもない素数だ。分母が $2$ と $5$ だけなら有限小数になるが、$11$ のような別の素因数があると割り切れず、同じ余りがくり返し現れて循環小数になる。だから $\frac{5}{11}$ は循環小数になる。

発展 — 一歩先へ。 有限小数か循環小数かは、既約分数の分母だけで決まる。分母の素因数が $2$ と $5$ のみなら有限、それ以外を含めば循環。$10=2\times 5$ という記数法の都合が基準を作っている($3$ 進法の世界なら $\frac{1}{3}$ が有限小数になる)。

「余りの有限性 → 必ず循環」という別解の理屈は、鳩の巣原理の実例だ。周期の長さが分母とどう関係するか($\frac{1}{7}$ は周期6、$\frac{1}{11}$ は周期2)を調べ始めると、整数論の深い泉(位数の理論)につながっていく。

別解

(2)の「なぜ循環するのか」は、実際に $5÷11$ の筆算を回すと正体が見える。

割り算の各ステップで残る「余り」を追う。$50÷11$ で商 $4$・余り $6$。$60÷11$ で商 $5$・余り $5$。次は再び $50÷11$ …。

余りが $5\to 6\to 5\to 6\to \cdots$ と往復し始めた瞬間、商の桁も $4,5,4,5,\dots$ と循環が確定する。同じ余りからは同じ計算しか続かないからだ。

そして、$11$ で割った余りは $1$〜$10$ の高々 $10$ 種類しかない。割り切れない限り、余りはいつか必ず再登場する。つまり、どんな分数も(割り切れなければ)必ず循環する。

「余りの種類が有限だから循環する」。この鳩の巣の理屈が、循環小数の存在理由のすべてである。循環の周期が分母より小さくなることも、同じ理屈から読み取れる。