桁が逆になる2つの記数法

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $5$ 進法と $8$ 進法の表記を、両方とも $10$ 進法の式に直す。同じ $N$ だから等号で結べる。

未知数は $a$、$b$、$c$ の $3$ つで、式は $1$ 本しかない。ふつうなら解が定まらない。

ところが $a$、$b$、$c$ は「$5$ 進法の数字」なので $0$ から $4$ に限られる。しかも先頭の桁は $0$ でない。この強い範囲制限が、実質の連立条件になる。

「桁の数字の範囲こそが方程式を解く力」。ここが記数法問題の急所だ。

$5$ 進法・$8$ 進法をそれぞれ $10$ 進法の式にする。

$${\overline{abc}}_{(5)}=25a+5b+c,{\overline{cba}}_{(8)}=64c+8b+a$$

両方とも $N$ なので等しい。

$$25a+5b+c=64c+8b+a$$

整理すると

$$24a-3b-63c=0\text{すなわち}8a-b-21c=0\text{つまり}b=8a-21c$$

ここで $a,b,c$ は $5$ 進法の数字だから $0$〜$4$。しかも $a$($5$ 進の先頭)と $c$($8$ 進の先頭)は $1$ 以上。

$b=8a-21c$ が $0$〜$4$ に収まる $a$、$c$ を探す。$c=1$ のとき $b=8a-21$。これが $0$〜$4$ になるのは $8a=21$〜$25$、つまり $a=3$($8\times 3=24$、$b=3$)。$c\ge 2$ では $8a-42$ が負になり不適。

よって $a=3$、$b=3$、$c=1$。$N$ は

$$N=25\times 3+5\times 3+1=91$$

(確認:$5$ 進法で $331_{(5)}=91$、$8$ 進法で $133_{(8)}=64+24+3=91$。確かに桁が逆で一致する。)

発展 — 一歩先へ。 桁の順が逆になる数は、回文数(パリンドローム)と近い話題で、記数法を変えると別の顔を見せる。

同じ数でも底を変えれば桁の並びが変わる。$91$ は $5$ 進法で $331$、$8$ 進法で $133$ と、ちょうど鏡写しになった。

こうした問題では、位取りを底のべきの多項式として書き下し、各桁が底未満という条件で候補を絞るのが共通の型だ。方程式の本数が足りなくても、範囲が残りの条件を補ってくれる。

別解

別解 — 大きさの評価で $c$ を先に決める(苦手な人向けの実感ルート)。 式を整理する前に、$N$ の大きさを見積もって候補を絞る。

$N$ は $5$ 進法で $3$ 桁 ${\overline{abc}}_{(5)}$。$5$ 進法の $3$ 桁で最大は

$$444_{(5)}=4\times 25+4\times 5+4=124$$

だから、$N\le 124$ が分かる。

一方 $N={\overline{cba}}_{(8)}=64c+8b+a$ で、先頭 $c$ は $1$ 以上。もし $c\ge 2$ なら $N\ge 64\times 2=128>124$ となり大きすぎる。だから $c=1$ に決まる。

$c=1$ を $64c+8b+a=25a+5b+1$ に入れて整理すると $63+3b=24a$、つまり $b=8a-21$。$b$ が $0$ から $4$ に収まるのは $a=3$($b=3$)だけ。

よって ${\overline{abc}}_{(5)}=331_{(5)}=91$。範囲の評価で $c$ を先に潰すと、当てはめがぐっと軽くなる。本解と同じ $N=91$ に至る。