n進法の変換(整数と小数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $n$ 進法の数は「位の重み」の約束ごとにすぎない。整数部分は右から $1,3,9,27,\dots$($3$ 進法なら)、小数部分は左から $\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\dots$($2$ 進法なら)。

各桁に重みをかけて足すだけで、$10$ 進法に戻る。

小数側の重みが「割る」方向に進むことだけが新しい。整数と小数で、重みの進む向きが逆になる対称性を意識しておくと迷わない。

(1) $3$ 進法の位の重みは、右から $1,3,9,27$。$2101_{(3)}$ は右から $1,0,1,2$ なので

$$2\times 27+1\times 9+0\times 3+1\times 1=54+9+0+1=64$$

(2) 小数点以下の位の重みは、左から $\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8}$。$0.101_{(2)}$ は小数第1位から $1,0,1$ なので

$$1\times \frac{1}{2}+0\times \frac{1}{4}+1\times \frac{1}{8}=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}=\frac{4}{8}+\frac{1}{8}=\frac{5}{8}$$

(整数部分は重みが左へ大きく、小数部分は右へ小さくなる — 対称的だ。)

発展 — 一歩先へ。 「左から巻き込む」計算は、多項式の値を速く求めるホーナー法(組立除法の親戚)と同じものだ。$n$ 進法の数は「$n$ を変数とみた多項式に $n$ を代入した値」なので、多項式の道具がそのまま使える。

$2$ 進法はコンピュータの、$16$ 進法はカラーコード(#FF6600 など)の言葉だ。位取り記数法の原理が分かっていれば、何進法が来ても同じ2つの向き(重みの表・巻き込み)で処理できる。

別解

(1)は、重みの表を作らずに「左から巻き込む」計算もできる。

先頭の桁から順に、「今までの値を $3$ 倍して、次の桁を足す」を繰り返すのだ。

$$2\to 2\times 3+1=7\to 7\times 3+0=21\to 21\times 3+1=64$$

桁を1つ読むたびに全体が「1桁分だけ左へずれる=$3$ 倍される」ので、この巻き込みで重みが自動的に付く。桁数が多いときは、大きなべき乗($3^5,3^6,\dots$)を書かずに済むのが利点だ。

(2)は、小数点を「持ち上げる」と見通しがよい。$0.101_{(2)}$ は $101_{(2)}$ を $1000_{(2)}=8$ で割ったもの。$101_{(2)}=5$ だから $\frac{5}{8}$。整数の変換に帰着させる作戦である。