数学A / 整数の性質

整数解をもたないことの証明

★★★ 応用余りによる分類整数解の非存在

問題

方程式 $x^{2} - 3 y^{2} = 2$ を満たす整数 $x$ 、 $y$ は存在しないことを証明せよ。

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解があると仮定して、両辺を $3$ で割った余りを比べる。 $x^{2}$ を $3$ で割った余りにできる値は限られている。移項した $3 y^{2} + 2$ のほうの余りは?

解答・解説

『解がない』は具体例では示せない。そこで、両辺を $3$ で割った余りに注目する。左辺と右辺で余りが食い違えば、解は存在しえない。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「解が存在しない」ことは、例をいくら試しても示せない。

そこで、全整数を有限のグループに分ける道具、余り(mod)を使う。 $3$ で割った余りで両辺を見比べてみる。

左辺 $x^{2}$ がとりうる余りのリストに、右辺の余りが入っていなければ、等式は決して成り立たない。

「余りの食い違いで、無限の候補を一気に全滅させる」。これが不可能性証明の定跡だ。

重要余り(mod)で矛盾を出す:両辺を

3

で割った余りが一致しなければ整数解なし

整数解 $x$ 、 $y$ があると仮定して、両辺を $3$ で割った余りを比べる。

$x^{2} - 3 y^{2} = 2$ を移項すると

$x^{2} = 3 y^{2} + 2$

右辺 $3 y^{2} + 2$ を $3$ で割った余りは $2$ ( $3 y^{2}$ は $3$ の倍数だから)。

一方、左辺 $x^{2}$ を $3$ で割った余りは、 $0$ か $1$ しかありえない( $x$ を $3$ で割った余りが $0, 1, 2$ のどれでも、 $x^{2}$ の余りは $0, 1, 1$ になる)。

つまり左辺の余りは $0$ か $1$ 、右辺の余りは $2$ 。これは食い違うので、等式は成り立たない。

よって、 $x^{2} - 3 y^{2} = 2$ を満たす整数 $x$ 、 $y$ は存在しない。 $■$

(『余りが合わない』の一言で、無限にある候補をすべて否定できる。余りに注目するのは、解の非存在を示すときの定番の手だ。)

発展 — 一歩先へ。 平方数を $3$ で割った余りが $0, 1$ に限られる事実は、平方剰余と呼ばれる考え方の入り口だ。

法を変えると余りのとりうる値も変わる。 $4$ で割れば平方数は $0, 1$ 、 $8$ で割れば $0, 1, 4$ しか出ない。どの法で見るかを選ぶのが、非存在証明の腕の見せどころになる。

$x^{2} - D y^{2} = k$ の形の方程式が整数解を持つかどうかも、適切な法での余りの分析が第一歩になる。ペル方程式と呼ばれる有名な仲間へ続く道だ。

答

$x^{2}$ を $3$ で割った余りは $0$ か $1$ だが、右辺の余りは $2$ で矛盾(証明は解答参照)

別解 — 別の法( $mod 8$ )でも矛盾を出す(得意な人向けの視点)。 $3$ で割るかわりに、 $8$ で割った余りで見てもよい。

平方数を $8$ で割った余りは $0, 1, 4$ の $3$ 種類しかない( $0^{2}, 1^{2}, \dots, 7^{2}$ を $8$ で割ると、すべてこの $3$ つに収まる)。

$x^{2} - 3 y^{2}$ を $8$ で割った余りを、 $x^{2} \in {0, 1, 4}$ 、 $3 y^{2} \in {0, 3, 4}$ の全組み合わせで調べると

$x^{2} - 3 y^{2} \equiv 0, 1, 4, 5, 6 (mod 8)$

の $5$ 種類だけが現れる。右辺 $2$ の余りは、この中に入っていない。

だから $x^{2} - 3 y^{2} = 2$ は $8$ を法として不可能で、整数解は存在しない。法 $3$ を使う本解とは別の法で見ても、同じく解の非存在にたどり着く。