数学A / 整数の性質

約数の個数が奇数になる数

★★★ 応用約数の個数平方数

問題

正の約数の個数が奇数である自然数は、平方数(ある整数の $2$ 乗)に限ることを証明せよ。

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$N$ の約数 $d$ には、必ず相棒 $\frac{N}{d}$ がいて、これも約数。ふつうは $2$ 個ずつ組になる。組にならない(相棒が自分自身になる)のは $d = \frac{N}{d}$ のとき — この式は何を意味する?

解答・解説

約数は『 $d$ と $N \div d$ 』のペアで現れる。ふつうは2個ずつ増えるので個数は偶数。個数が奇数になるのは、ペアの相手が自分自身になる約数があるとき — それはどんなときか。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 約数 $d$ をとると、 $\frac{N}{d}$ も必ず約数になる。この $2$ つを相棒として組にする。

ふつうは約数が $2$ 個ずつペアで現れるので、総数は偶数になる。

奇数個になるのは、ペアの相手が自分自身になる約数があるときだけだ。それは $d = \frac{N}{d}$ 、つまり $N = d^{2}$ のとき。

「ペアリングの例外はどこか」という数え方の視点が、そのまま証明の骨格になる。

重要約数は

(d, \frac{N}{d})

の相棒で組になる。平方数だけ

N

が余る → 約数の個数が奇数

$N$ の正の約数 $d$ を1つとると、 $\frac{N}{d}$ も必ず約数になる。この2つを『相棒』として組にする。

ふつう、約数は $(d, \frac{N}{d})$ の $2$ 個ずつ組になって現れるので、約数の総数は偶数になる。

組にならない(相棒が自分自身になる)のは、 $d = \frac{N}{d}$ のとき。この式を変形すると

$d^{2} = N$

つまり $N$ が平方数で、 $d = N$ がちょうど真ん中の約数として1個だけ余る。このときだけ、約数の個数が『偶数 $+ 1$ 』で奇数になる。

したがって、約数の個数が奇数になるのは $N$ が平方数のときに限る。 $■$

(例: $36 = 6^{2}$ の約数は $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ の $9$ 個(奇数)。真ん中の $6$ だけ、相棒が自分自身だ。)

発展 — 一歩先へ。 約数の個数 $τ (N) = (a + 1) (b + 1) \dots$ は「乗法的」な関数だ。互いに素な $m, n$ について $τ (mn) = τ (m) τ (n)$ が成り立つ。

だから $N$ を素因数ごとにばらして掛け合わせれば、約数の個数が出る。同じ仕組みで、約数の総和 $σ (N)$ やオイラー関数 $φ (N)$ も乗法的で、素因数分解から積で計算できる。

「約数が奇数個 $⟺$ 平方数」も、 $τ$ が各因子 $(a + 1)$ の積で、その偶奇が指数 $a$ だけで決まる、という乗法的構造の現れ。乗法的関数は整数論の主役の一つだ。

答

約数は $d$ と $\frac{N}{d}$ が対になり、対にならないのは $d = \frac{N}{d}$ (平方数)のときだけ(証明は解答参照)

別解 — 約数の個数の公式で言い切る(得意な人向けの視点)。 ペアを作るかわりに、約数の個数を素因数分解から直接数える。

$N = p^{a} q^{b} \dots$ と素因数分解すると、正の約数の個数は

$(a + 1) (b + 1) \dots$

で与えられる。これが奇数になる条件を考える。

いくつかの整数の積が奇数になるのは、掛ける因数がすべて奇数のときに限る。だから $a + 1, b + 1, \dots$ がすべて奇数、すなわち指数 $a, b, \dots$ がすべて偶数でなければならない。

指数がすべて偶数なら

$N = (p^{a /2} q^{b /2} \dots)^{2}$

と書けて平方数になる。逆に $N$ が平方数なら指数はすべて偶数で、個数は奇数。よって約数の個数が奇数になるのは平方数のときに限る。本解と同じ結論だ。