数学A / 整数の性質

n進法と10進法の変換

★ 基礎n進法

問題

次の変換をせよ。

(1) $2$ 進法で表された $11010 1_{(2)}$ を $10$ 進法で表せ。

(2) $10$ 進法の $45$ を $2$ 進法で表せ。

(3) $10$ 進法の $45$ を $5$ 進法で表せ。

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(1)は各桁に位の重み( $\dots, 8, 4, 2, 1$ )をかけて足す。(2)(3)は逆に、その数( $2$ や $5$ )で割った余りを、下の位から順に並べる。

解答・解説

方針

$10$ 進法にするには『位の重み』をかけて足す。 $10$ 進法から他の進法にするには『その数で割った余り』を下から並べる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $n$ 進法とは「 $n$ 個たまったら、 $1$ つ上の位に繰り上がる」という数の書き方だ。ふだん使う $10$ 進法は「 $10$ たまったら繰り上がる」。

位の重みが、 $n$ のべき乗になる。

$2$ 進法の位: $\dots, 32, 16, 8, 4, 2, 1$ (右から $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, \dots$ )
$5$ 進法の位: $\dots, 125, 25, 5, 1$

(1) $n$ 進法 → $10$ 進法: 各桁に重みを掛けて足すだけ。

(2)(3) $10$ 進法 → $n$ 進法: $n$ で割り続けて、余りを下から並べる。

「下から」がすべて。 最初に出た余りが一の位、最後に出た余りが最上位。上から並べると逆さまの数になってしまう。

公式

n

進法 → 10進法:各位に位の重み(

1, n, n^{2}, \dots

)をかけて足す

(1) $2$ 進法の各位の重みは、右から $1, 2, 4, 8, 16, 32, \dots$ 。 $11010 1_{(2)}$ は右から $1, 0, 1, 0, 1, 1$ なので

$1 \times 32 + 1 \times 16 + 0 \times 8 + 1 \times 4 + 0 \times 2 + 1 \times 1 = 32 + 16 + 4 + 1 = 53$

(2) $10$ 進法 → $2$ 進法は『 $2$ で割った余りを下から並べる』。 $45 \div 2 = 22$ 余り $1$ 、 $22 \div 2 = 11$ 余り $0$ 、 $11 \div 2 = 5$ 余り $1$ 、 $5 \div 2 = 2$ 余り $1$ 、 $2 \div 2 = 1$ 余り $0$ 、 $1 \div 2 = 0$ 余り $1$ 。余りを最後から順に並べて

$45 = 10110 1_{(2)}$

(3) 同じように $5$ で割っていく。 $45 \div 5 = 9$ 余り $0$ 、 $9 \div 5 = 1$ 余り $4$ 、 $1 \div 5 = 0$ 余り $1$ 。余りを最後から並べて

$45 = 14 0_{(5)}$

(検算: $1 \times 25 + 4 \times 5 + 0 = 45$ 。位の重みをかけて足すと元に戻る。)

発展 — 一歩先へ。 $2$ 進法の $101101$ は $6$ 桁、 $10$ 進法の $45$ は $2$ 桁。同じ数なのに、桁数がまるで違う。

一般に、 $n$ 進法で $N$ を表すのに必要な桁数は、およそ $lo g_{n} N$ 桁。底が小さいほど、桁は長くなる。 だから $2$ 進法の数はやたらと長い。

そこでコンピュータの世界では、 $16$ 進法がよく使われる。 $0$ 〜 $9$ の後に $A$ 〜 $F$ を使って $16$ 個の数字を表す記法だ。 $16 = 2^{4}$ なので、 $2$ 進法の $4$ 桁が、 $16$ 進法の $1$ 桁にぴったり対応する。

$10110 1_{(2)} = 210 D 1101 \to 2 D_{(16)}$

( $2 \times 16 + 13 = 45$ ✓)

ウェブページの色指定 #FF0000(赤)を見たことがあるだろう。あれは $16$ 進法で $2$ 桁ずつ、赤・緑・青の強さ( $0$ 〜 $255$ )を書いている。 $FF = 15 \times 16 + 15 = 255$ — 最大値だ。

画面の色も、ファイルの中身も、この $16$ 進法で書かれている。 $n$ 進法は、教科書の中の抽象的な話ではなく、目の前の画面を作っている技術そのものである。

位取り記数法という発明( $0$ を含む!)がなければ、こうした技術は成立しなかった。数を「書く」方法が、数を「使う」力を決める — 記数法の歴史が教えるところである。

答

(1) $53$ (2) $10110 1_{(2)}$ (3) $14 0_{(5)}$

別解

割り算を使わずに、「重りで天秤をつり合わせる」ように変換する方法がある。 $2$ 進法では、こちらのほうが速くて間違えにくい。

(2) $45$ を $2$ 進法に、重み分解で。

$2$ 進法の位の重みは $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, \dots$ 。 $45$ を超えない最大の重みから、貪欲に取っていく。

$45$ から $32$ を引く → 残り $13$
$13$ から $8$ を引く → 残り $5$
$5$ から $4$ を引く → 残り $1$
$1$ から $1$ を引く → 残り $0$ ✓

$45 = 32 + 8 + 4 + 1$

使った重みに $1$ 、使わなかった重みに $0$ を書く。

重み	$32$	$16$	$8$	$4$	$2$	$1$
使う?	$1$	$0$	$1$	$1$	$0$	$1$

$45 = 10110 1_{(2)}$

割り算ゼロで変換できた ✓。 $2$ 進法の数字は $0$ か $1$ しかないので、「使うか使わないか」の $2$ 択にすぎない。天秤に $1, 2, 4, 8, 16, 32$ グラムの分銅を載せて、 $45$ グラムをつり合わせる — それが $2$ 進法である。

(3) $5$ 進法も同じ発想。 重みは $1, 5, 25, 125, \dots$ 。ただし各桁は $0$ 〜 $4$ まで使える。

$45$ に $25$ はいくつ入るか → $1$ 個( $25 \times 1 = 25$ )、残り $20$
$20$ に $5$ はいくつ入るか → $4$ 個( $5 \times 4 = 20$ )、残り $0$
$1$ の位 → $0$

$45 = 1 \times 25 + 4 \times 5 + 0 \times 1 = 14 0_{(5)}$

検算(逆変換)を必ずやる。 $1 \times 25 + 4 \times 5 + 0 = 25 + 20 = 45$ ✓。

$n$ 進法の本質は「両替」である。 $45$ 円を、 $25$ 円玉 $1$ 枚・ $5$ 円玉 $4$ 枚・ $1$ 円玉 $0$ 枚で払う — それが $14 0_{(5)}$ の意味だ。同じ金額を、違う硬貨の組で表しているだけで、数そのものは何も変わっていない。

なぜ $2$ 進法が世界を支配しているのか。 コンピュータの回路は「電流が流れる( $1$ )/流れない( $0$ )」の $2$ 状態しか持てない。だから $2$ 進法が使われる。 $10$ 段階の電圧を正確に区別するのは難しいが、オンとオフなら、ノイズがあっても間違えない。

「表現の仕方」が変わっても、数の正体は変わらない。 $45$ も $10110 1_{(2)}$ も $14 0_{(5)}$ も、まったく同じ量である — この視点が、記数法の理解の芯だ。

ポイント

他の進法 → $10$ 進法:各桁 × 位の重みをすべて足す
$10$ 進法 → 他の進法:その数で割った余りを下(最後)から並べる
変換したら『重みをかけて足す』で元に戻るか検算

よくある間違い

割った余りを上から並べてしまう(下=最後の割り算から並べる)
位の重みを取り違える( $2$ 進法は $1, 2, 4, 8, \dots$ )
$5$ 進法の各桁に $5$ 以上の数字を書いてしまう( $n$ 進法で使える数字は $0$ から $n - 1$ まで)