数学A / 整数の性質

倍数の判定法の応用

★★ 標準倍数の判定

問題

$3$ 桁の整数 $\overline{4 □ 6}$ が $6$ の倍数となるような、十の位の数字 $□$ ( $0$ 〜 $9$ )をすべて求めよ。

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$6$ の倍数は『 $2$ の倍数かつ $3$ の倍数』の両方。まず一の位を見て $2$ の倍数か確認し、次に各位の和で $3$ の倍数条件を絞る。

解答・解説

方針

$6 = 2 \times 3$ 。 $6$ の倍数とは『 $2$ の倍数かつ $3$ の倍数』のこと — この2つの条件を同時に満たす $□$ を探す。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $6$ の倍数を直接判定する道具はない。でも $6 = 2 \times 3$ で、 $2$ と $3$ は互いに素だ。

だから「 $2$ の倍数かつ $3$ の倍数」に分解する。それぞれには判定法がある。

$2$ の条件は一の位で決まり、今回は末尾 $6$ で自動的に合格。残るは $3$ の条件、つまり各位の和 $4 + □ + 6 = 10 + □$ が $3$ の倍数になる $□$ を探すだけだ。

重要

6 = 2 \times 3

(

2, 3

は互いに素)→ 6 の倍数は「2 の倍数かつ 3 の倍数」

$6 = 2 \times 3$ で、 $2$ と $3$ は互いに素だから、 $6$ の倍数とは『 $2$ の倍数かつ $3$ の倍数』のことだ。両方の条件を課す。

$2$ の倍数の条件:一の位が偶数。 $\overline{4 □ 6}$ の一の位は $6$ で偶数なので、 $□$ が何であってもこの条件は満たされる。

$3$ の倍数の条件:各位の和 $4 + □ + 6 = 10 + □$ が $3$ の倍数。 $□$ は $0$ 〜 $9$ なので $10 + □$ は $10$ 〜 $19$ 、この中の $3$ の倍数は $12, 15, 18$ 。よって $10 + □ = 12, 15, 18$ 、つまり

$□ = 2, 5, 8$

発展 — 一歩先へ。 「互いに素な2つに分解して別々に判定」は、 $12 = 3 \times 4$ 、 $18 = 2 \times 9$ など合成数の判定すべてに通じる設計だ。分解の相手が互いに素であることが条件で、 $12 = 2 \times 6$ のような分解では判定できない( $2$ の倍数かつ $6$ の倍数でも $12$ の倍数とは限らない)。

各位の和で $3$ の倍数が判定できる理由は、 $10 \equiv 1$ (mod $3$ )にある。合同式を学ぶと、 $9$ や $11$ の判定法まで同じ原理で作れる。

答

$□ = 2, 5, 8$

別解

候補が10個しかないので、「6の倍数の並び方」から見抜く道もある。

$4 □ 6$ の形の数は $406, 416, 426, \dots, 496$ の10個。この中の6の倍数を探すと $426, 456, 486$ で、ちょうど $30$ ずつ並んでいる。

これは偶然ではない。末尾が $6$ のまま次の6の倍数に進むには、 $6$ の倍数かつ $10$ の倍数、つまり $30$ の倍数だけ足すしかないからだ。

だから1つ見つければ( $426 = 6 \times 71$ )、あとは $30$ 間隔で機械的に拾える。 $□ = 2, 5, 8$ 。

判定法ルートの「 $10 + □$ が3の倍数 → $□ = 2, 5, 8$ (3間隔)」と、数直線上の「30間隔」が同じことの2つの顔になっている。

ポイント

$6 = 2 \times 3$ 、 $2$ と $3$ は互いに素 → $6$ の倍数は『 $2$ の倍数かつ $3$ の倍数』
$2$ の倍数は一の位、 $3$ の倍数は各位の和で判定
2つの条件を両方満たす $□$ だけが答え

よくある間違い

$3$ の倍数の条件だけで判定してしまう(偶数の条件も必要。今回は末尾6で自動合格だが確認は要る)
各位の和 $10 + □$ の範囲( $10$ 〜 $19$ )を外れた値まで拾う
$6$ の判定法を「各位の和が6の倍数」と誤解する(和で判定できるのは3と9)