約数の個数と総和

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 約数の問題は、まず素因数分解。話はそこからだ。

$$600=2^3\times 3\times 5^2$$

$600$ の約数とは、$2$ を何個・$3$ を何個・$5$ を何個使うか、を決めて掛け合わせたもの。

• $2$ の使い方: $0,1,2,3$ 個 → $4$ 通り
• $3$ の使い方: $0,1$ 個 → $2$ 通り
• $5$ の使い方: $0,1,2$ 個 → $3$ 通り

独立に選べるので、掛けて

$$4\times 2\times 3=24(\text{個})$$

$0$ 個使う場合を忘れない — だから指数に $+1$ する。総和も同じ発想で「各素数の使い方の合計」を掛け合わせる。

まず素因数分解する。$600=2^3\times 3\times 5^2$。

(1) 約数は $2^a\times 3^b\times 5^c$ の形になる。$a$ は $0,1,2,3$ の $4$ 通り、$b$ は $0,1$ の $2$ 通り、$c$ は $0,1,2$ の $3$ 通り。どれも独立に選べるので

$$4\times 2\times 3=24(\text{個})$$

『$0$ 個(その素数を使わない)』も1通りに数えるのがポイントだ。

(2) 約数の総和は、各素因数について『$0$ 乗から最大乗までの和』を作り、それらをかけ合わせると出る。

$$(1+2+4+8)(1+3)(1+5+25)=15\times 4\times 31=1860$$

(なぜかけ算でよいのか。この積を展開すると、$2^a\times 3^b\times 5^c$ の形の項が『約数の選び方の分だけ』ちょうど1回ずつ現れる — つまり全約数の和そのものになる。)

発展 — 一歩先へ。 約数の総和を $\sigma (n)$ と書く。$\sigma (600)=1860$ である。

この関数には、$2000$ 年以上前から人を惹きつけてきた問題がある。自分自身を除いた約数の和が、ちょうど自分自身になる数 — 完全数だ。

$$6=1+2+3,28=1+2+4+7+14$$

($\sigma$ で書けば $\sigma (6)=12=2\times 6$、$\sigma (28)=56=2\times 28$。)

次の完全数は $496$、その次は $8128$。ユークリッドは「$2^{p-1}(2^p-1)$ で $2^p-1$ が素数なら完全数」と証明した($p=2$ で $6$、$p=3$ で $28$)。

そして、$2000$ 年経った今も解けていない問題がある。

• 奇数の完全数は存在するか?($1$ つも見つかっていないが、存在しない証明もない)
• 完全数は無限にあるか?(現在 $50$ 個程度しか知られていない)

小学生でも意味が分かる問いが、人類最高の頭脳を $2000$ 年はねつけている。 整数論とは、そういう分野だ。

$600$ の約数を数えるという地味な作業は、この深淵への入口に立っている。簡単に見える問いほど、底が深い — 数学の恐ろしさであり、面白さである。

別解

部品ごとに計算して、最後に掛ける — この見方をすると、総和の公式が驚くほど自然に見えてくる。

$600$ を、$3$ つの独立な部品に切り分ける。

$$600=\underset{2^3}{\underbrace{8}}\times \underset{3^1}{\underbrace{3}}\times \underset{5^2}{\underbrace{25}}$$

この $3$ つは互いに素(共通の素因数がない)。

それぞれの約数の総和を、単独で計算する。

• $8$ の約数: $1,2,4,8$ → 総和 $15$
• $3$ の約数: $1,3$ → 総和 $4$
• $25$ の約数: $1,5,25$ → 総和 $31$

掛ける。

$$15\times 4\times 31=60\times 31=1860$$

これが答え ✓。$24$ 個の約数を全部書き出して足す必要はない。

なぜ掛けてよいのか。 $600$ の約数は「$8$ の約数」$\times$「$3$ の約数」$\times$「$25$ の約数」の形にただ $1$ 通りに書ける(素因数分解の一意性)。たとえば約数 $60=4\times 3\times 5$ は、$8$ の約数 $4$、$3$ の約数 $3$、$25$ の約数 $5$ の組から作られる — 他の組み合わせでは作れない。

だから、$3$ つの和を掛け合わせて展開すると、$24$ 個の項がちょうど $24$ 個の約数と $1$ 対 $1$ に対応する。

$$(1+2+4+8)(1+3)(1+5+25)=1\cdot 1\cdot 1+1\cdot 1\cdot 5+\cdots +8\cdot 3\cdot 25$$

$24$ 個の項 $=$ $24$ 個の約数。「掛けて展開する」ことが「全部の約数を作って足す」ことと同じなのだ。

この性質を、数学では乗法性という。 「互いに素な部分に分けて、それぞれで計算し、最後に掛ける」— 整数の世界の強力な戦略である。約数の個数も同じ($4\times 2\times 3=24$)。

検算の手。 約数をペアで数えてみよう。掛けて $600$ になる組は $(1,600),(2,300),(3,200),(4,150),(5,120),(6,100),(8,75),(10,60),(12,50),(15,40),(20,30),(24,25)$ — ちょうど $12$ 組。$1$ 組に $2$ 個ずつだから $24$ 個 ✓。公式の答えと一致した。

約数の総和 $1860$ は、元の数 $600$ の $3$ 倍以上もある。約数がたくさんある数($600$ は $24$ 個も持つ)では、こういうことが起こる。約数の"豊かさ"を測る量として、整数論では σ(シグマ)という記号で書かれ、完全数や友愛数といった魅力的な話題の主役になる。