n²+n+1 は平方数でない

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「平方数でない」を示すには、$n^2+n+1$ を連続する $2$ つの平方数ではさむのが定石。

$n^2+n+1$ を $n^2$ と $(n+1{)}^2=n^2+2n+1$ と比べる。$n\ge 1$ なら $n^2<n^2+n+1<n^2+2n+1=(n+1{)}^2$ が成り立つ。

$n^2$ と $(n+1{)}^2$ は連続する平方数で、その間には平方数がない。$n^2+n+1$ はちょうどこの間にあるから、平方数になり得ない。

① 下から。 $n\ge 1$ で $n+1>0$ だから

$$n^2+n+1>n^2$$

② 上から。 $(n+1{)}^2=n^2+2n+1$ との差をとると

$$(n+1{)}^2-(n^2+n+1)=n>0(n\ge 1)$$

よって $n^2+n+1<(n+1{)}^2$。

③ はさみうち。 以上より

$$n^2<n^2+n+1<(n+1{)}^2$$

$n^2+n+1$ は連続する平方数 $n^2$ と $(n+1{)}^2$ のあいだにあり、その間に平方数はない。したがって $n^2+n+1$ は平方数でない。(証明終)

まとめ:「平方数でない」は「連続する $2$ 平方数ではさむ」。$n^2+n+1$ は $n^2$ より $n+1$ だけ大きく、$(n+1{)}^2$ より $n$ だけ小さいので、ちょうど間に入る。間に平方数がないことが決め手。

発展 — 一歩先へ。 「$k^2$ と $(k+1{)}^2$ の間に平方数はない」を使う証明は、$n^2+an+b$ 型が平方数かの判定に広く効く。$n^2+n+1,n^2+2n+2=(n+1{)}^2+1$ などは、隣の平方との隙間を測れば平方数でないと分かる。ペル方程式 $x^2-D{y}^2=1$ など、「平方数になるのはいつか」は整数論の中心的な問い。

別解

別解 — $4(n^2+n+1)$ を平方ではさむ(別の視点)。 分数や半端を避けるため、$4$ 倍して整数の平方ではさむ。$4(n^2+n+1)=4n^2+4n+4$。

これを連続する平方 $(2n+1{)}^2$ と $(2n+2{)}^2$ と比べる。

$$(2n+1{)}^2=4n^2+4n+1<4n^2+4n+4<4n^2+8n+4=(2n+2{)}^2(n\ge 1).$$

$4(n^2+n+1)$ は連続する平方 $(2n+1{)}^2$ と $(2n+2{)}^2$ の間にあり、間には平方数がない。だから $4(n^2+n+1)$ は平方数でない。$4$ は平方数だから、もし $n^2+n+1$ が平方 $m^2$ なら $4(n^2+n+1)=(2m{)}^2$ も平方 — 矛盾。よって $n^2+n+1$ は平方数でない。

$n^2$ と $(n+1{)}^2$ ではさむ本解と同じ発想だが、$4$ 倍すると隙間が $(2n+1{)}^2$ と $(2n+2{)}^2$ という“隣り合う整数の平方”になり、はさみ込みがより鮮明。「$k^2$ と $(k+1{)}^2$ の間に平方数はない」を、都合のよいスケールで使うのがコツだ。