1次不定方程式の文章題

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 みかん $x$ 個、りんご $y$ 個として式を立てると $80x+120y=1000$。

まず両辺を $40$ で割って $2x+3y=25$ に軽くする。係数を小さくしてから解くのが、文章題の作法だ。

整数解を求めたら、最後に現実の条件($x\ge 1$、$y\ge 1$)でふるいにかける。「式の解」と「問題の答え」の間に、この検問が1つ挟まる。

みかんを $x$ 個、りんごを $y$ 個とすると

$$80x+120y=1000$$

両辺を $40$ で割って係数を小さくする。

$$2x+3y=25$$

$x\ge 1$、$y\ge 1$ の整数解を探す。$2x=25-3y$ より、右辺は正の偶数でなければならない。$25-3y$ が偶数になるのは $3y$ が奇数、つまり $y$ が奇数のとき。また $25-3y\ge 2$(=$2x\ge 2$、$x\ge 1$)から $y\le 7$。

$y=1,3,5,7$ を順に調べる。

• $y=1$:$2x=22$、$x=11$
• $y=3$:$2x=16$、$x=8$
• $y=5$:$2x=10$、$x=5$
• $y=7$:$2x=4$、$x=2$

どれも $x\ge 1$ を満たす。よって買い方は

$$4(\text{通り})$$

発展 — 一歩先へ。 「偶奇で絞る」は合同式(mod 2)のいちばん素朴な形だ。係数が変われば mod 3 や mod 5 で絞ることになる。どの法で見ると片方の変数が消えるか、を探すのが上達の道である。

金額を大きくした「$2x+3y=n$ の解の個数」は、$n$ を動かすと規則的に増えていく。十分大きな $n$ では必ず解がある(作れない最大の金額が存在する)という話題は、フロベニウスの硬貨問題と呼ばれる有名な発展問題だ。

別解

一般解の公式を使わず、「偶奇」で候補を絞って書き出す方法も実戦的だ。

$2x+3y=25$ で、$2x$ は必ず偶数、$25$ は奇数。だから $3y$ は奇数、つまり $y$ は奇数でなければならない。

さらに $3y<25$ だから $y\le 7$(1個以上なので $y\ge 1$)。候補は $y=1,3,5,7$ の4つだけ。

それぞれ $x=\frac{25-3y}{2}$ を計算すると

• $y=1$: $x=11$、$y=3$: $x=8$、$y=5$: $x=5$、$y=7$: $x=2$

4つとも $x\ge 1$ を満たす。よって $4$ 通り。

「偶奇で半分に絞る → 範囲で有限個に絞る → 全部書く」。候補が少ない文章題では、この直接ルートのほうが速くて確実なことも多い。