分数が整数になる条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{n+5}{n+1}$ に $n=1,2,3,\dots$ を代入して探し続ける — これでは、どこまで探せば終わりなのか分からない。

そこで分子を、分母で割ってしまう。

$$\frac{n+5}{n+1}=\frac{(n+1)+4}{n+1}=1+\frac{4}{n+1}$$

この変形がすべてだ。 前半の $1$ は必ず整数。だから

$$\frac{n+5}{n+1}\text{が整数}⟺\frac{4}{n+1}\text{が整数}⟺n+1\text{が 4 の約数}$$

「無限に探す問題」が「$4$ の約数を挙げる問題」に化けた。 $4$ の約数は $1,2,4$ の $3$ つだけ — 有限個である。

$n$ は自然数なので $n+1\geqq 2$。$n+1=1$ は使えない(それは $n=0$ で自然数でない)。

分子を分母に合わせて分ける。$n+5=(n+1)+4$ なので

$$\frac{n+5}{n+1}=\frac{(n+1)+4}{n+1}=1+\frac{4}{n+1}$$

$1$ は整数だから、全体が整数になるのは $\frac{4}{n+1}$ が整数のとき。つまり $n+1$ が $4$ の約数であればよい。

$4$ の正の約数は $1,2,4$。$n$ は自然数($n\ge 1$)なので $n+1\ge 2$、よって $n+1=2$ または $4$。

• $n+1=2$ → $n=1$(このとき $\frac{6}{2}=3$ で整数)
• $n+1=4$ → $n=3$(このとき $\frac{8}{4}=2$ で整数)

$$n=1,3$$

まとめ:『分数を整数部分と余りに分ける』→『分母が余りの約数』という流れが、この型のコツだ。

発展 — 一歩先へ。 「$n$ が自然数」という条件が、この問題では決定的だった。もし「$n$ は整数」だったら、答えは増える。

$n+1$ は $4$ の約数だから、負の約数も許される。

$$n+1=\pm 1,\pm 2,\pm 4⟹n=0,-2,1,-3,3,-5$$

($n=-1$ は分母が $0$ になるので除く。)$6$ 個に増えた。

「自然数」「整数」「正の整数」— この一語で、答えの個数が変わる。 問題文の条件を読み飛ばすと、正解が不正解になる。

整数問題では、次の $3$ つを毎回確認する習慣をつけたい。

• 範囲: 自然数か、整数か、正か、$0$ を含むか
• 分母が $0$ にならないか: 除外すべき値はないか
• 符号: 負の約数を考えるべき状況か

「解を全部求めよ」と言われたら、"全部"の意味を、問題文で定義された範囲で確定させる。 数学の答案は、条件の読み取りから始まっている。

別解

なぜ「有限個で終わる」と言い切れるのか。 グラフの目で見ると、その理由が視覚的に分かる。ついでに、この問題の型が入試でどう化けるかも見ておこう。

グラフで見る。

$$y=1+\frac{4}{n+1}$$

$n$ が大きくなると、$\frac{4}{n+1}$ はどんどん小さくなる。

$n\geqq 4$ になると、値は $1$ と $2$ のあいだに閉じ込められる。

$$1<\frac{n+5}{n+1}<2(n\geqq 4)$$

$1$ と $2$ のあいだに整数はない。 だから $n\geqq 4$ では、絶対に整数にならない。探すのは $n=1,2,3$ の $3$ つだけでよい — これで有限個に絞れた。

実際に代入すると $n=1$ で $3$、$n=2$ で $\frac{7}{3}$(整数でない)、$n=3$ で $2$。

$$n=1,3$$

約数ルートと同じ答え ✓。

この「はさみうちで有限に絞る」発想は、整数問題の王道だ。 整数の世界にはすき間がある(隣り合う整数のあいだに他の整数はいない)。だから「値を $1$ と $2$ のあいだに閉じ込める」ことが、そのまま「解なし」の証明になる。連続の世界では通用しない、整数ならではの論法である。

別の角度: 最大公約数から見る。

$\frac{n+5}{n+1}$ が整数ということは、$n+1$ が $n+5$ を割り切るということ。

$$(n+5)-(n+1)=4$$

$n+1$ が $n+5$ と $n+1$ の両方を割り切るなら、その差 $4$ も割り切る。 これは互除法の心臓部と同じ理屈だ($\gcd (n+5,n+1)=\gcd (4,n+1)$)。

だから $n+1$ は $4$ の約数 — $1$ 行で本解の結論に到達した。

「差をとる」という一手は、整数問題で恐ろしく効く。$\frac{2n+7}{n+2}$ なら、分子から分母の $2$ 倍を引いて $3$ が残るので、$n+2$ は $3$ の約数。同じ手が、そのまま通じる。

まとめると、この型には $3$ つの入口がある。

• 分子を分母で割る(整数部分 $+$ 余りの分数)
• 差をとる(割り切るなら差も割り切る)
• はさみうち($1$ と $2$ のあいだに整数はない)

どれか $1$ つでも見えれば、無限の探索が有限の確認に変わる。