有限小数と循環小数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分数を小数にするには、素直に割り算をすればよい。

$$3÷8=0.375(\text{きっちり終わる})$$

$$5÷12=0.41666\dots (\text{6 が永遠に続く})$$

一方は途中で終わり(有限小数)、もう一方は同じ数字を繰り返す(循環小数)。

この違いは、どこから来るのか。 割り算の余りに注目すると分かる。$3÷8$ では余りがいつか $0$ になるが、$5÷12$ では余りが $0$ にならず、同じ余りが再登場してループに入る。

カギは分母にある。

$$8=2^3,12=2^2\times 3$$

$12$ には $3$ という"よそ者"がいる。 この違いが運命を分ける — 詳しくは別解で。

なお、判定の前に必ず約分すること。約分前の分母で判断すると誤る。

有限か循環かは、既約分数の分母の素因数で決まる。分母が $2$ と $5$ だけなら有限小数、それ以外の素因数があれば循環小数だ($10=2\times 5$ なので、$2$ と $5$ だけは小数点以下で割り切れる)。

(1) $\frac{3}{8}$ はすでに既約。分母 $8=2^3$ は $2$ だけ。だから有限小数になるはず。実際に割ると

$$\frac{3}{8}=0.375$$

(2) $\frac{5}{12}$ も既約。分母 $12=2^2\times 3$ には $3$ が含まれる。だから循環小数になるはず。割ってみると

$$\frac{5}{12}=0.41666\dots =0.41\dot{6}$$

($6$ が無限にくり返す。くり返す部分の上に点をつけて表す。)

発展 — 一歩先へ。 有限小数も循環小数も、分数で表せる数、つまり有理数である。逆も成り立つ。

$$\text{有理数}⟺\text{有限小数 または 循環小数}$$

循環小数が分数に戻せることは、$10$ 倍のトリックで示せる。$x=0.\dot{3}=0.333\dots$ とすると

$$10x=3.333\cdots =3+x⟹9x=3⟹x=\frac{1}{3}$$

この操作で、どんな循環小数も分数に戻る。

では、循環しない無限小数は何者か。 それが無理数である。

$$\sqrt{2}=1.41421356\dots ,\pi =3.14159265\dots$$

どこまで行っても、同じパターンが繰り返されない。 だから分数では書けない。

$$\text{実数}=\underset{\text{有限 or 循環}}{\underbrace{\text{有理数}}}+\underset{\text{循環しない無限小数}}{\underbrace{\text{無理数}}}$$

小数の見た目($=$ 終わるか、繰り返すか、繰り返さないか)が、数の種類を完全に分類している。 $\frac{3}{8}$ と $\frac{5}{12}$ の違いを調べる作業は、実は数の世界の地図を描く作業だったのだ。

なお、有名な $0.\dot{9}=0.999\cdots =1$ という等式も、上の $10$ 倍のトリックで確かめられる($10x=9+x$ から $x=1$)。「$1$ に限りなく近い別の数」ではなく、$1$ そのもの — 無限小数の奥深さを教えてくれる、格好の入口である。

別解

割り算をする前に、有限小数か循環小数かを見抜く方法がある。しかも、その理由は驚くほど単純だ。

判定法。既約分数の分母を素因数分解して、

$$\boxed{\text{分母が 2 と 5 だけでできている}⟺\text{有限小数}}$$

それ以外の素因数($3,7,11,\dots$)が $1$ つでもあれば、循環小数になる。

(1) $\frac{3}{8}$: 分母 $8=2^3$ — $2$ だけ。だから有限小数。

(2) $\frac{5}{12}$: 分母 $12=2^2\times 3$ — $3$ がいる。だから循環小数。

割り算をせずに、分母を見ただけで結論が出た。

なぜ $2$ と $5$ が特別なのか。 有限小数とは「分母が $10$ のべき乗の分数」に書き直せる、ということだ。

$$0.375=\frac{375}{1000}$$

そして $10=2\times 5$ — $10$ のべき乗は、$2$ と $5$ しか素因数を持たない。

$$10^3=1000=2^3\times 5^3$$

だから、分母を $10$ のべき乗に化けさせるには、元の分母が $2$ と $5$ だけでできていなければならない。実際

$$\frac{3}{8}=\frac{3}{2^3}=\frac{3\times 5^3}{2^3\times 5^3}=\frac{375}{1000}=0.375$$

分母の $2^3$ に、足りない $5^3$ を掛けて $10^3$ を作った — これが有限小数の正体である。

一方 $\frac{5}{12}$ は、分母に $3$ がいる。$3$ は何を掛けても $10$ のべき乗には化けない($10^k$ は $3$ で割り切れないから)。だから、どうやっても有限小数にはならない。

$10$ 進法だから $2$ と $5$ なのだ。 もし人類が $12$ 進法を使っていたら、$12=2^2\times 3$ なので、$\frac{1}{3}$ が有限小数になっていた($12$ 進法で $0.4$)。「割り切れる・割り切れない」は、数そのものの性質ではなく、$10$ 進法という記数法の都合なのである。

循環小数の面白さ。 $\frac{1}{7}$ を計算してみると

$$\frac{1}{7}=0.\dot{1}4285\dot{7}$$

$142857$ の $6$ 桁が循環する。 なぜ $6$ 桁か。割り算の余りは $1$〜$6$ の $6$ 通りしかありえず($0$ になったら終わってしまう)、同じ余りが出た瞬間にループが始まるからだ。循環節の長さは、必ず「分母 $-1$」以下になる。

$\frac{5}{12}=0.41\dot{6}$ の点の位置にも注意したい。$0.41666\dots$ で循環するのは $6$ だけ($4$ と $1$ は循環に入らない)。だから点は $6$ の上にだけ打つ。$0.\dot{4}1\dot{6}$ と書くと「$416416416\dots$」という別の数になってしまう。