不等式・最大最小の技法 — 相加相乗・コーシー・シュワルツ・凸性

正の実数 $a,b$ が $a+b=1$ を満たすとき、${\left(a+\frac{1}{a}\right)}^2+{\left(b+\frac{1}{b}\right)}^2$ の最小値を求めよ。

実数 $x$ に対し $f(x)=\sum _{k=1}^{100}|x-k|=|x-1|+|x-2|+\cdots +|x-100|$ とする。$f(x)$ の最小値を求めよ。

正の実数 $a,b,c$ に対して、次の不等式を証明せよ。

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}$$

$f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|$ の最小値を求めよ。

$a>0,b>0$ のとき $(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4$ が成り立つことを示し、等号が成り立つ条件を求めよ。

実数 $a,b,c,d$ に対し $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge (ac+bd{)}^2$ が成り立つことを示し、等号が成り立つ条件を求めよ。

$a\ge 0,b\ge 0,c\ge 0$ のとき $a^3+b^3+c^3\ge 3abc$ が成り立つことを示し、等号が成り立つ条件を求めよ。

$x>0$ のとき $x+\frac{4}{x^2}$ の最小値を求めよ。

$x$ を実数とするとき、$\frac{x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}$ の最小値を求めよ。

実数 $a,b$ について、次の不等式が成り立つことを示せ。

$$\frac{|a+b|}{1+|a+b|}\le \frac{|a|}{1+|a|}+\frac{|b|}{1+|b|}$$

実数 $a,b$ について、次を示せ。

$$|a+b|=|a|+|b|⟺ab\ge 0$$

$x>0,y>0$ で $x+2y=8$ のとき、積 $xy$ の最大値を求めよ。

実数 $a,b$ に対し、区間 $-1\le x\le 1$ における $|x^2+ax+b|$ の最大値を $M(a,b)$ とする。$M(a,b)$ の最小値を求めよ。

実数 $a,b$ に対し $J(a,b)={\int }_0^1{\left(x^2-ax-b\right)}^{2}dx$ とする。$J(a,b)$ を最小にする $a,b$ の値と、そのときの最小値を求めよ。

すべての実数 $x$ に対して、次の不等式が成り立つことを示せ。

$$x^4-x+\frac{1}{2}>0$$

三角形 $\mathrm{ABC}$ で $A=60^{\circ }$、$b+c=6$ とする。三角形の面積の最大値を求めよ。

外接円の半径が $R$ の三角形について、周の長さ $a+b+c$ の最大値を $R$ で表せ。

$a,b,c$ を正の実数とする。(1) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ を示せ。

(2) これを用いて $a^3+b^3+c^3\ge 3abc$ を示し、等号成立条件を述べよ。

実数 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$ について、ラグランジュの恒等式 $$(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)-(a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3{)}^2=\sum _{i<j}(a_i{b}_j-a_j{b}_i{)}^2$$ を示し、これを用いてコーシー・シュワルツの不等式 $(a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3{)}^2\le (a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)$ を示せ。

$a,b,c$ を正の実数で $a+b+c=1$ を満たすものとする。$\left(\frac{1}{a}-1\right)\left(\frac{1}{b}-1\right)\left(\frac{1}{c}-1\right)\ge 8$ が成り立つことを示し、等号成立条件を述べよ。

$n$ を自然数とする。$n!\le {\left(\frac{n+1}{2}\right)}^n$ が成り立つことを示せ。

実数 $a\ge b\ge c$ および $x\ge y\ge z$ に対して、不等式

$$3(ax+by+cz)\ge (a+b+c)(x+y+z)$$

が成り立つことを示せ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。

実数 $a,b$ が $|a|<1,|b|<1$ を満たすとき、次の不等式が成り立つことを示せ。

$$\left|\frac{a+b}{1+ab}\right|<1$$

三角形の $3$ つの内角 $A,B,C$($A+B+C=\pi$、いずれも正)に対し、$\sin A+\sin B+\sin C$ の最大値を求めよ。

$x\ge -2$ のとき、不等式 $x^3\ge 3x-2$ が成り立つことを示せ。また等号が成り立つ $x$ を求めよ。

$a>0$ とする。すべての実数 $x$ に対して $x^4-4ax+3\ge 0$ が成り立つような $a$ の最大値を求めよ。

実数 $a$ に対し $J(a)={\int }_0^1(e^x-ax{)}^{2}dx$ とする。$J(a)$ を最小にする $a$ の値を求めよ。

$e^{\pi }$ と ${\pi }^e$ の大小を比較せよ。

$x>0$ で定義された関数 $f(x)={\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$ は増加することを示せ。

(1) $x>0$ のとき $\log x\le x-1$ が成り立つことを示せ。また、等号が成り立つ $x$ を求めよ。

(2) $n$ を2以上の自然数、$a_1,a_2,\dots ,a_n$ を正の実数とする。(1)を用いて、不等式

$$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}$$

を証明せよ。

$0<a<b$ のとき、次の不等式を示せ。

$$\sqrt{ab}<\frac{b-a}{\log b-\log a}$$

(1) $0<x<\pi$ のとき、関数 $\frac{\sin x}{x}$ は減少することを示せ。

(2) $0\le x\le \frac{\pi }{2}$ のとき、不等式 $\sin x\ge \frac{2}{\pi }x$ が成り立つことを示せ。

半径 $\sqrt{3}$ の球に内接する直方体の体積の最大値を求めよ。

楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ に内接し、各辺が座標軸に平行な長方形の面積の最大値を求めよ。