対称式・解と係数 × 数列 — 次数下げ・べき和・剰余の周期

(1) $x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ を示せ。

(2) $x+y+z=0$ のとき $x^3+y^3+z^3=3xyz$ が成り立つことを示せ。

$t=x+\frac{1}{x}$ とする。(1) $x^3+\frac{1}{x^3}$ を $t$ で表せ。

(2) $x^5+\frac{1}{x^5}$ を $t$ で表せ。

実数 $x,y,z$ が $x+y+z=1$、$x^2+y^2+z^2=3$、$x^3+y^3+z^3=4$ を満たすとき、$x^4+y^4+z^4$ の値を求めよ。

実数 $x(x\ne 0)$ が $x+\frac{1}{x}=3$ を満たすとき、$x^5+\frac{1}{x^5}$ の値を求めよ。

次の等式を証明せよ。

$$(a+b+c{)}^3-a^3-b^3-c^3=3(a+b)(b+c)(c+a)$$

$x^{10}$ を $(x-1{)}^2$ で割った余りを求めよ。

$2$ 次方程式 $x^2-3x+1=0$ の $2$ つの解を $\alpha ,\beta$ とする。${\alpha }^5+{\beta }^5$ の値を求めよ。

$2$ 次方程式 $x^2-3x+1=0$ の $2$ 解を $\alpha ,\beta$ とする。${\alpha }^2,{\beta }^2$ を $2$ 解とする $2$ 次方程式を $1$ つ求めよ。

$\alpha =1+\sqrt{2}$ とする。$\alpha$ は $2$ 次方程式 $x^2-2x-1=0$ の解であることを用いて、${\alpha }^4$ を計算せよ。

$0<\theta <\frac{\pi }{2}$ とする。$\sin \theta ,\cos \theta$ を $2$ つの解とする $2$ 次方程式が $x^2+ax+b=0$ であるとき、$a$ と $b$ の間に成り立つ関係式を求めよ。

$x\ne 0$ とし、$t=x+\frac{1}{x}$ とおく。各自然数 $n$ に対して $x^n+\frac{1}{x^n}$ は $t$ の整数係数の多項式で表せることを示し、$x^5+\frac{1}{x^5}$ を $t$ で表せ。

$n$ を自然数とする。$n$ 次多項式 $f(x)$ が

$$f(k)=\frac{k}{k+1}(k=0,1,2,\dots ,n)$$

を満たすとき、$f(n+1)$ の値を求めよ。

$4$ 次方程式 $x^4-5x^3+6x^2-5x+1=0$ を解け。

$3$ 次方程式 $x^3-3x+1=0$ の $3$ つの解を $\alpha ,\beta ,\gamma$ とする。${\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3$ と ${\alpha }^4+{\beta }^4+{\gamma }^4$ の値を求めよ。

$x^{2024}$ を $x^2+x+1$ で割った余りを求めよ。

3次方程式 $x^3-3x+1=0$ の3つの解を $\alpha ,\beta ,\gamma$ とするとき、

$$(\alpha -\beta {)}^2(\beta -\gamma {)}^2(\gamma -\alpha {)}^2$$

の値を求めよ。

$x^{100}$ を $x^2-x+1$ で割った余りを求めよ。

$f(x)=x^3-3x+1$ とする。

(1) 等式 $f(x^2-2)=-f(x)f(-x)$ が成り立つことを示せ。

(2) $\alpha$ が方程式 $f(x)=0$ の解ならば、${\alpha }^2-2$ もこの方程式の解であることを示せ。

$x$ の3次方程式

$$x^3-6x^2+kx-8=0$$

の3つの解がすべて正の実数となるような実数 $k$ の値を求めよ。

3次方程式 $x^3+x+1=0$ は、ただ1つの実数解 $\alpha$ と、互いに共役な2つの虚数解 $\beta ,\overline{\beta }$ をもつ。

(1) $-1<\alpha <0$ であることを示せ。

(2) $|\beta |>1$ であることを示せ。

$0\le x<2\pi ,0\le y<2\pi$ のとき、連立方程式

$$\sin x+\sin y=1,\cos x+\cos y=\sqrt{3}$$

を解け。

(1) $\cos 5\theta$ を $\cos \theta$ の多項式で表せ。

(2) $\cos \frac{\pi }{10}$ の値を求めよ。

(1) $\cos 72^{\circ }=2{\cos }^{2}36^{\circ }-1$ および $\cos 36^{\circ }=1-2{\cos }^{2}72^{\circ }$ が成り立つことを示せ。

(2) $\cos 36^{\circ }-\cos 72^{\circ }=\frac{1}{2}$ を示せ。

(3) $\cos 36^{\circ }$ の値を求めよ。

$2^x+2^{-x}=3$ のとき、$8^x+8^{-x}$ の値を求めよ。

$p<0$ とする。$3$ 次関数 $f(x)=x^3+px+q$ の極大値と極小値の差を $p$ を用いて表せ。

直線 $y=mx+n$ が曲線 $y=x^3$ と異なる $3$ 点で交わるとする。$3$ 交点の $x$ 座標の和は常に $0$ であることを示し、$3$ 交点の重心(座標の平均)を $m,n$ で表せ。

3次関数 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ が極大値と極小値をもつとする。このとき、(極大値)$+$(極小値)は変曲点の $y$ 座標の $2$ 倍に等しいことを示せ。

$a_1=\frac{5}{2},a_{n+1}=a_n^2-2$ で定まる数列の一般項を求めよ。

数列 $\{a_n\}$ を $a_1={\sin }^2\frac{\pi }{7}$、$a_{n+1}=4a_n(1-a_n)$ で定める。

(1) すべての自然数 $n$ について $a_n={\sin }^2\frac{2^{n-1}\pi }{7}$ が成り立つことを、数学的帰納法で示せ。

(2) すべての自然数 $n$ について $a_{n+3}=a_n$ が成り立つことを示せ。

数列 $\{a_n\}$ を $a_1=2$、$a_{n+1}=2a_n^2$ で定める。一般項 $a_n$ を求めよ。