和の工夫 — 望遠鏡和・部分分数分解

$\frac{1}{(x+1)(x+2)(x+3)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x+3}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $A,B,C$ を定めよ。

$\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$ の値を求めよ。

$n$ を自然数とする。$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2(n+1)(n+2)}$ が成り立つことを示せ。

(1) 次の等式を示せ。

$$(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)=1+x+x^2+\cdots +x^{15}$$

(2) 一般に、0以上の整数 $n$ に対して次の等式を示せ。

$$(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\cdots (1+x^{2^n})=1+x+x^2+\cdots +x^{2^{n+1}-1}$$

$n$ を2以上の自然数とする。次の積を求めよ。

$$\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{4^2}\right)\cdots \left(1-\frac{1}{n^2}\right)$$

${\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}4\cdot {\log }_{4}5\cdots {\log }_{31}32$ の値を求めよ(各因数は ${\log }_k(k+1)$、$k=2,3,\dots ,31$)。

$n$ を自然数とする。$\sum _{k=1}^n{\log }_2\left(1+\frac{1}{k}\right)$ を求めよ。

すべての自然数 $n$ について、次の不等式が成り立つことを示せ。

$$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}<\frac{7}{4}$$

数列 $\{a_n\}$ は $a_1=1$ で、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が

$$S_n=\frac{n+2}{3}{a}_n$$

を満たす。一般項 $a_n$ を求めよ。

数列 $\{a_n\}$ を $a_1=2$、$a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$ で定める。

(1) $\frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_n-1}-\frac{1}{a_{n+1}-1}$ が成り立つことを示せ。

(2) $\sum _{k=1}^n\frac{1}{a_k}=1-\frac{1}{a_{n+1}-1}$ を示し、$\sum _{k=1}^n\frac{1}{a_k}<1$ がすべての $n$ で成り立つことを確かめよ。

無限級数 $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ の和を求めよ。