軌跡・通過領域 — パラメータ消去・存在条件

点 $\mathrm{A}$ から放物線 $y=x^2$ へ相異なる $2$ 本の接線が引け、それらが互いに直交するとき、点 $\mathrm{A}$ の軌跡を求めよ。

$2$ 点 $\mathrm{A}(0,0),\mathrm{B}(6,0)$ からの距離の比が $\mathrm{PA}:\mathrm{PB}=1:2$ である点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。

$t$ が実数全体を動くとき、直線 $y=2tx-t^2$ が通過する点 $(x,y)$ の存在する領域を求め、図示せよ。

点 $\mathrm{P}$ が円 $x^2+y^2=4$ 上を動くとき、定点 $\mathrm{A}(6,0)$ と $\mathrm{P}$ の中点 $\mathrm{M}$ の軌跡を求めよ。

$2$ 定点 $\mathrm{A}(-2,0),\mathrm{B}(2,0)$ に対し、$\angle \mathrm{APB}=90^{\circ }$ となる点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。

実数 $a$ が全ての値をとって変化するとき、直線 $y=ax-a^2+1$ が通過する領域を図示せよ。

実数 $t$ に対し2直線 $\ell :tx-y=0$、$m:x+ty=t+2$ を考える。$t$ が全ての実数を動くとき、$\ell$ と $m$ の交点 P の軌跡を求めよ。

$y$ 軸に接し、点 $\mathrm{A}(4,0)$ を中心とする半径 $1$ の円に外接する円を考える。この動円の中心 P の軌跡を求めよ。ただし P の $x$ 座標は正とする。

定点 $\mathrm{A}(3,0)$ を通る直線が円 $x^2+y^2=4$ と相異なる2点で交わるとき、その2交点を結ぶ弦の中点 M の軌跡を求めよ。

$\theta$ が実数全体を動くとき、直線 $x\cos \theta +y\sin \theta =1$ が通過する点 $(x,y)$ 全体の領域を求めよ。

点 $\mathrm{Q}$ が直線 $x=1$ 上を動く。原点 $\mathrm{O}$ と $\mathrm{Q}$ を結ぶ半直線上に、$\mathrm{OP}\cdot \mathrm{OQ}=1$ を満たす点 $\mathrm{P}$($\mathrm{Q}$ と同じ側)をとる。$\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。ただし $\mathrm{Q}$ は原点以外を動く。

$t$ が $0$ 以外の実数を動くとき、点 $\mathrm{P}\left(t+\frac{1}{t},t-\frac{1}{t}\right)$ の軌跡を求めよ。

$t$ が正の実数全体を動くとき、円 $(x-t{)}^2+y^2=t^2$ が通過する点 $(x,y)$ 全体の領域を求めよ。

放物線 $y=x^2$ 上の異なる $2$ 点における接線が直交するとき、その交点の軌跡を求めよ。

$t$ が $0\le t\le 1$ の範囲を動くとき、直線 $y=2tx-t^2$ が通る点全体のつくる領域を $D$ とする。

(1) 点 $(x,y)$ が $D$ に属するための条件を求め、$D$ を図示せよ。

(2) $D$ と直線 $x=2$ の共通部分を求めよ。

実数 $x,y$ が $x^2+y^2=1$ を満たしながら動くとき、点 $(X,Y)=(x+y,xy)$ が描く図形を求め、図示せよ。

放物線 $y=x^2$ 上に原点 O と異なる2点 $\mathrm{P},\mathrm{Q}$ があり、$\mathrm{OP}\perp \mathrm{OQ}$ を満たしながら動く。直線 $\mathrm{PQ}$ は定点を通ることを示し、その定点の座標を求めよ。

実数 $x,y$ が $x^2+y^2\le 1$ を満たしながら動くとき、点 $(X,Y)=(x^2-y^2,2xy)$ の動く範囲を求め、図示せよ。

2点 $\mathrm{A}(-1,0),\mathrm{B}(1,0)$ に対し、$\angle \mathrm{APB}=45^{\circ }$ を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。

楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ に、互いに直交する $2$ 本の接線を引く。その交点の軌跡を求めよ。

楕円 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ を、傾き1の直線 $y=x+k$($k$ は実数)が2点で切るとき、その2交点を結ぶ弦の中点は、$k$ を動かすと1つの直線上に乗ることを示し、その直線の方程式を求めよ。