整数 × 数列 — ペル方程式・フィボナッチ・床関数

$[x]$ を $x$ を超えない最大の整数(ガウス記号)とする。$\sum _{k=1}^{100}\left[\sqrt{k}\right]$ を求めよ。

実数 $x$ に対し、$x$ を超えない最大の整数を $[x]$ で表す。すべての実数 $x$ について、次の等式が成り立つことを示せ。

$$[x]+\left[x+\frac{1}{3}\right]+\left[x+\frac{2}{3}\right]=[3x]$$

$k$ を正の整数とし、$k^2<n<(k+1{)}^2$ を満たす整数 $n$($2k$ 個ある)を考える。

(1) $\sqrt{n}$ の小数部分がちょうど $\frac{1}{2}$ になることはないことを示せ。

(2) $2k$ 個の $n$ のうち、$\sqrt{n}$ の小数部分が $\frac{1}{2}$ より小さいものはちょうど $k$ 個であることを示せ。

$n$ を自然数とする。$a_n=(2+\sqrt{3}{)}^n+(2-\sqrt{3}{)}^n$ について、(1) $a_n$ は整数で $a_{n+1}=4a_n-a_{n-1}$ を満たすことを示せ。

(2) $(2+\sqrt{3}{)}^n$ の整数部分は奇数であることを示せ。

$x^2-2y^2=1$ を満たす自然数の組 $(x,y)$ を考える。

(1) $(x,y)$ がこの方程式を満たすならば、$(3x+4y,2x+3y)$ も満たすことを示せ。

(2) $x$ が小さい方から4番目の組を求めよ。

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2}$ を満たす自然数の組 $(x,y,z)$($x\le y\le z$)をすべて求めよ。

$\sum _{k=1}^{100}k!$ を $12$ で割った余りを求めよ。

フィボナッチ数列を $F_1=F_2=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ で定める。(1) $F_{n+1}{F}_{n-1}-F_n^2=(-1{)}^n$($n\ge 2$)を示せ。

(2) これを用いて、連続する2つのフィボナッチ数 $F_n,F_{n+1}$ が互いに素であることを示せ。

$S=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{100}}$ とする。$S$ の整数部分($S$ を超えない最大の整数)を求めよ。

$S=\sum _{k=1}^{100}\left[\sqrt{k}\right]$ を求めよ。ただし $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表す。

フィボナッチ数列 $F_1=F_2=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ の一般項を求めよ。

$M_n=2^n-1$ とする。$m>n$ のとき $\gcd (M_m,M_n)=\gcd (M_{m-n},M_n)$ が成り立つことを示し、これを用いて $\gcd (M_m,M_n)=2^{\gcd (m,n)}-1$ を示せ。

数列 $\{F_n\}$ を $F_1=F_2=1$、$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ で定める。すべての自然数 $n$ について

$$F_n<{\left(\frac{7}{4}\right)}^n$$

が成り立つことを、数学的帰納法で示せ。

数列 $\{a_n\}$ を $a_1=1$、$a_2=3$、$a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n$ で定める。

(1) すべての項が奇数であることを示せ。

(2) 隣り合う2項 $a_{n+1},a_n$ は互いに素であることを示せ。