整数 × 論証 — 背理法・鳩の巣原理・偶奇

$x=\sqrt{2}+\sqrt{3}$ を解にもつ、整数を係数とする最も次数の低い方程式を1つ求めよ。

(1) 正の整数 $a,b,c,d$ が $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ を満たすとき、次の不等式を示せ。

$$\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}$$

(2) $\frac{1}{3}<x<\frac{1}{2}$ を満たす分数 $x=\frac{p}{q}$($p,q$ は正の整数)のうち、分母 $q$ が最小のものを求めよ。

(1) $\sqrt{30}$ が無理数であることを示せ。

(2) $\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$ が無理数であることを示せ。

小数 $\alpha =0.101001000100001\cdots$(1と1の間に並ぶ0の個数が $1,2,3,4,\dots$ と1個ずつ増えていく)は無理数であることを示せ。ただし、有理数の小数表示は必ず有限小数または循環小数になることは用いてよい。

${\log }_{2}3$ が無理数であることを示せ。

$1$ から $100$ までの整数から $51$ 個を選ぶと、その中に一方が他方を割り切る $2$ 数が必ず存在することを示せ。

$p$ を素数とする。$\sqrt{p}$ が無理数であることを示せ。

素数は無限に存在することを示せ。

整数 $n$ について、「$n^2$ が $3$ の倍数ならば $n$ は $3$ の倍数である」ことを対偶を用いて示せ。

どのような5つの整数からも、うまく3つを選べば、その和が3の倍数になるようにできることを示せ。

$n$ を2以上の整数とするとき、$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}$ は整数でないことを示せ。

(1) 整数 $a,b$ について、$a^2+b^2$ が3の倍数ならば、$a,b$ はともに3の倍数であることを示せ。

(2) 円 $x^2+y^2=3$ 上に、$x$ 座標と $y$ 座標がともに有理数である点は存在しないことを示せ。

実数 $x$ について、$x^2-x$ と $x^3-x$ がともに有理数ならば、$x$ は有理数であることを示せ。また、「$x^2-x$ が有理数ならば $x$ は有理数」は正しいか — 正しければ証明し、正しくなければ反例をあげよ。

$a<b$ を満たすどんな有理数 $a,b$ に対しても、$a<c<b$ を満たす無理数 $c$ が存在することを示せ。

$2$ 次方程式 $x^2-ax+a=0$ が(重解も含めて)整数の解をもつような正の整数 $a$ をすべて求めよ。

$p,q$ を実数とし、$f(x)=x^2+px+q$ とする。

(1) $f(1)-2f(2)+f(3)=2$ が成り立つことを示せ。

(2) $|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|$ のうち少なくとも1つは $\frac{1}{2}$ 以上であることを示せ。

$a,b,c$ がすべて奇数のとき、2次方程式 $a{x}^2+bx+c=0$ は有理数の解をもたないことを示せ。

1個のサイコロを3回投げ、出た目を順に $a,b,c$ とする。$x$ の3次方程式

$$x^3+a{x}^2+bx+c=0$$

が整数の解をもつ確率を求めよ。

$n$ 個の整数 $a_1,a_2,\dots ,a_n$ が与えられたとき、連続して並ぶいくつかの和 $a_{i+1}+a_{i+2}+\cdots +a_j$($0\le i<j\le n$)で $n$ の倍数になるものが必ず存在することを示せ。

方程式 $x^2+y^2+z^2=2023$ を満たす整数 $x,y,z$ は存在しないことを示せ。

$f(x)$ を整数係数の多項式とする。$f(0)$ と $f(1)$ がともに奇数ならば、方程式 $f(x)=0$ は整数の解をもたないことを示せ。