円運動・単振動 × 万有引力・浮力 — 向心力・復元力を重力や浮力から作る

なめらかな水平面上に、質量 $m=0.20\mathrm{kg}$ の小球AとBが、ばね定数 $k=10N/m$ の軽いばねで結ばれて静止している。ばねははじめ自然長である。

いま、Aに瞬間的な力積を与え、Bから遠ざかる向き(ばねを伸ばす向き)に速さ $v_0=2.0m/s$ を与えた。

(1) その後の 2 球の重心の速度を求めよ。

(2) ばねの伸びが最大になる瞬間の、AとBの速度をそれぞれ求めよ。

(3) ばねの伸びの最大値を求めよ。

(4) その後Bの速さが最大になる瞬間の、Bの速さを求めよ。

長さ $L$ の糸の先に質量 $m$ の小球をつけ、最下点で速さ $v_0=2\sqrt{gL}$ を与えて鉛直面内で回す。糸が最下点から角 $\theta =60°$ 回った位置について、(1) 小球の速さの 2 乗 $v^2$ (2) 糸の張力 $T$ をそれぞれ求めよ。重力加速度の大きさを $g$ とする。

半径 $r$ のなめらかな半球面の頂上に小球を置き、ごくわずかに押して滑らせた。小球が球面から離れるのは、頂上から測った角 $\theta$(中心から見た角)がいくらのときか。$\cos \theta$ で答えよ。また、そのとき小球は頂上から鉛直方向に何 m 下がった位置にいるか($r$ で表せ)。

地表から物体を打ち出し、無限遠まで到達させる(地球の重力を振り切る)ために必要な最小の初速(第 2 宇宙速度)を求めよ。万有引力による位置エネルギーは、無限遠を基準として $U=-G\frac{Mm}{r}$ で与えられる。$GM=g{R}^2$、$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$、$R=6.4\times 10^6\mathrm{m}$、$\sqrt{2}=1.41$ とする。

地表すれすれの円軌道を回る人工衛星の周期を求めよ。地球の半径を $R=6.4\times 10^6\mathrm{m}$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$、$\pi =3.14$ とする。

静止衛星は周期 $T=8.64\times 10^4$ 秒(1 日)で地球のまわりを回る。軌道半径 $r$(地球の中心から)を求めよ。$GM=g{R}^2$ の関係と、$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$、$R=6.4\times 10^6\mathrm{m}$、${\pi }^2=9.87$、$\sqrt[3]{75.8}=4.23$ を用いてよい。

地球(半径 $R$、地表での重力加速度の大きさ $g$)のまわりを回る人工衛星がある。地球の中心からの距離が最も小さい点(近地点)ではその距離が $R$(地表すれすれ)で、そこでの速さを $v_p$ とする。最も大きい点(遠地点)では距離が $3R$ である。万有引力による位置エネルギーは無限遠を基準にとり、$GM=g{R}^2$ を用いてよい。

(1) 遠地点での速さ $v_a$ を $v_p$ で表せ。

(2) $v_p$ を $g,R$ で表せ。

(3) この楕円軌道を 1 周する時間(周期)$T$ を $g,R$ で表せ。

宇宙空間で、質量 $m$ の星 A と質量 $2m$ の星 B が、たがいの万有引力だけを受けて、共通の重心のまわりをそれぞれ等速円運動している。2 星間の距離は常に $d$ に保たれている。万有引力定数を $G$ とする。

(1) 重心から星 A、星 B までの距離をそれぞれ求めよ。

(2) 円運動の角速度 $\omega$ を求めよ。

(3) 周期 $T$ を、全質量 $M=3m$ を用いた形にまとめよ。

密度が一様な地球(半径 $R$、地表での重力加速度の大きさ $g$)を考える。地球内部で中心から距離 $r$ の位置にある物体には、中心に向かって大きさ $\frac{g}{R}r$ の重力がはたらくことが知られている。

いま、地球の中心を通らず、中心からの距離が $b$ の直線トンネルをまっすぐ掘る(トンネルはなめらかで、空気抵抗はない)。トンネルの中央から測った位置を $x$ として、物体を静かに放す。

(1) 物体にはたらく重力の、トンネルに沿う方向の成分を $x$ で表せ。

(2) 物体の運動が単振動であることを示し、その周期 $T$ を求めよ。

(3) 周期はトンネルの位置(距離 $b$)によるか、答えよ。

地球(中心からの距離 $r$ で万有引力がはたらく。$GM=g{R}^2$)のまわりの、半径 $R$ の円軌道を回っている宇宙船を、半径 $4R$ の円軌道へ移したい。そのために、まず短時間の噴射で速さを変えて、近い側の距離が $R$・遠い側の距離が $4R$ の楕円軌道(遷移軌道)に乗せ、遠い側に着いたところで再び噴射して半径 $4R$ の円軌道に乗せる。

(1) 半径 $R$、半径 $4R$ の円軌道の速さ $v_1,v_2$ をそれぞれ $g,R$ で表せ。

(2) 遷移軌道の近い側・遠い側での速さ $v_p,v_a$ を求めよ。

(3) 1 回目・2 回目の噴射で必要な速さの変化 $\Delta v_1,\Delta v_2$ を求めよ。

地球($GM=g{R}^2$)の中心から距離 $2R$ の点で、質量 $m$ の物体に、動径に垂直な向きの速さ $v$ を与える。

(1) この点での脱出速度(無限遠へ去るのに必要な最小の速さ)を $g,R$ で表せ。

(2) $v^2=0.8gR$ のとき、軌道が楕円・放物線・双曲線のどれになるか、理由とともに答えよ。

(3) (2) の楕円について、長半径 $a$ を求めよ。また、この点が近地点・遠地点のどちらかを判定し、もう一方の距離を求めよ。

地球($GM=g{R}^2$)のまわりの半径 $r$ の円軌道を回る質量 $m$ の人工衛星がある。ごく薄い大気からわずかな空気抵抗を受けると、衛星は長い時間をかけて円軌道を保ったまま少しずつ高度を下げる(各瞬間はほぼ円軌道とみなせる)。

(1) 円軌道の速さ $v$、運動エネルギー $K$、位置エネルギー $U$、全エネルギー $E$ を、それぞれ $r$ を使って表せ。

(2) 空気抵抗は負の仕事をして全エネルギーを減らすのに、衛星の速さはむしろ増える。この一見矛盾する現象の理由を、(1) の関係を使って説明せよ。

(3) 高度が下がって半径が 1.0% 減ったとき、速さは何%増えるか。有効数字2桁で求めよ。

質量 $M$ の恒星の近くを、小天体(質量 $m$、$m\ll M$ で恒星は動かないとする)が通り過ぎる。小天体は無限遠では速さ $v_{\infty }$ を持ち、もし恒星の引力がなければ、恒星の中心から距離 $b$(衝突径数)だけ離れた直線上を等速で通り過ぎるはずであった。引力を受けた実際の軌道での、恒星への最接近距離 $r_{\min }$ を求めたい。万有引力による位置エネルギーは無限遠を基準に $U=-\frac{GMm}{r}$ とする。

(1) 無限遠での角運動量を $b$ を使って、最接近点での角運動量を $r_{\min }$ を使って表し、両者が等しいことから最接近点の速さ $v_{\min }$ を表せ。

(2) エネルギー保存と (1) を連立して、$r_{\min }$ を求めよ。

(3) とくに $v_{\infty }^2=\frac{GM}{b}$ のとき、$r_{\min }$ を $b$ で表せ。

断面積 $S$ の一様な柱状の物体(質量 $m$)が、密度 $\rho$ の液体に鉛直に浮かんでつり合っている。これを少し押し沈めて放すと単振動する。(1) つり合いの位置から $x$ 沈めたときの合力(下向きを正)を書け。 (2) 周期 $T$ を $m,\rho ,S,g$ で表せ。 (3) $m=0.98\mathrm{kg}$、$S=1.0\times 10^{-2}{\mathrm{m}}^2$、$\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$、$\pi =3.14$ として値を確かめよ。

断面積が一様な U 字管に、全長 $L=4.9\mathrm{m}$ の液体(密度 $\rho$、断面積 $S$)が入っている。片方の液面を少し押し下げて放すと、液体全体が管に沿って振動した。液面が中央(つり合い)から $x$ ずれたときの復元力を考えて、振動の周期を求めよ。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

地球の中心を通るまっすぐなトンネルを掘り、物体を静かに落とす(摩擦・空気抵抗は無視する)。地球内部では、中心からの距離 $x$ の位置の物体にはたらく重力が $F=-\frac{mg}{R}x$($R$: 地球半径、$g$: 地表の重力加速度)と表せることが知られている。(1) この物体の運動が単振動になる理由を述べ、周期 $T$ を $R,g$ で表せ。 (2) $R=6.4\times 10^6\mathrm{m}$、$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$、$\pi =3.14$ として周期を分単位で求めよ。 (3) 反対側の地表に到達するまでの時間は何分か。