方程式 × グラフ — 解の個数・解の配置・接線の本数

$a$ を実数の定数とする。方程式 $||x|-2|=a$ の実数解の個数を、$a$ の値によって分類せよ。

「すべての実数 $x$ に対し $x^2+ax+1>0$」が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

$2$ 次方程式 $x^2-2ax+a+2=0$ が異なる $2$ つの正の解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=2x-k$ が接するように、定数 $k$ の値を定めよ。

「すべての実数 $x$ に対し $x^2-2ax+a+2>0$」が成り立つような定数 $a$ の範囲を求めよ。

$c$ を実数とし、$f(x)=x^2+c$ とする。方程式 $f(f(x))=x$ が相異なる $4$ 個の実数解をもつような $c$ の値の範囲を求めよ。

$1$ 個のさいころを $3$ 回投げ、出た目を順に $a,b,c$ とする。$2$ 次方程式 $a{x}^2+bx+c=0$ が実数解をもつ確率を求めよ。

$a>1$ とする。$2$ 次不等式 $(x-1)(x-a)\le 0$ を満たす整数 $x$ がちょうど $3$ 個となるような $a$ の範囲を求めよ。

$a\ne b$ とする。$2$ 次方程式 $x^2+ax+b=0$ と $x^2+bx+a=0$ が共通の解をもつとき、その共通解を求め、$a,b$ が満たす関係を求めよ。

$a,b,c$ を実数とする。$x$ の方程式

$$(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0$$

は必ず実数解をもつことを示せ。また、重解をもつのは $a,b,c$ がどのような場合かを求めよ。

$0\le t\le 1$ を満たすすべての $t$ に対して

$$x^2+tx-t-2<0$$

が成り立つような $x$ の値の範囲を求めよ。

$f(x)=x^2-2$ とする。方程式 $f(f(x))=x$ の実数解をすべて求めよ。

$a$ を実数の定数とする。2次方程式 $x^2+ax+1=0$ が $0<x<2$ の範囲にちょうど1つの解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ(重解が範囲内にある場合も「ちょうど1つ」に数える)。

2つの $x$ の2次方程式

$$x^2+ax+1=0,x^2+x+a=0$$

が少なくとも1つの共通の解をもつような実数 $a$ の値をすべて求めよ。

$a,b$ を実数とし、$f(x)=x^2+ax+b$ とおく。$x$ の2次方程式 $f(x)=0$ の2つの解(重解・虚数解の場合も含める)の絶対値がともに1より小さいための必要十分条件は

$$f(1)>0,f(-1)>0,b<1$$

であることを示せ。

$a,b$ を実数とする。$x$ の2次方程式

$$x^2-2ax+b=0$$

が $-1\le x\le 1$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつような点 $(a,b)$ の全体を、横軸 $a$・縦軸 $b$ の平面に図示せよ。

$a$ を実数の定数とする。$\theta$ の方程式

$$\cos 2\theta +a\sin \theta =0(0\le \theta <2\pi )$$

の解の個数を、$a$ の値によって場合分けして求めよ。

$a$ を実数の定数とする。方程式 $4^x-a\cdot 2^x+a=0$ が異なる $2$ つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

曲線 $y=2^x$ と直線 $y=x+1$ は、相異なる $2$ 点で交わることを示せ。

$x^3-3x=k$ が異なる $3$ つの実数解をもつような定数 $k$ の範囲を求めよ。また、そのとき $3$ 解 $\alpha ,\beta ,\gamma$ の平方和 ${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2$ は $k$ によらず一定であることを示し、その値を求めよ。

点 $(1,b)$ から曲線 $y=x^3$ に $3$ 本の接線が引けるような $b$ の範囲を求めよ。

点 $\mathrm{P}(a,b)$ から曲線 $y=x^3$ に相異なる3本の接線が引けるような点 $\mathrm{P}$ の存在範囲を求め、図示せよ。

曲線 $y=x^4-4x^3$ に相異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。

$a>0$ とする。3次方程式 $x^3-3a^{2}x+b=0$ が相異なる3つの実数解をもつような実数 $b$ の範囲を、$a$ を用いて表せ。

原点を通る直線 $y=mx$ が曲線 $y=x^3-3x^2$ と相異なる3点で交わるような $m$ の範囲を求めよ。

曲線 $y=x^3$ と曲線 $y=3x^2+a$ が接するとき、定数 $a$ の値をすべて求めよ。

方程式 $\cos x=x$ はただ1つの実数解をもつことを示せ。また、その解が $0<x<\frac{\pi }{2}$ の範囲にあることを示せ。

$a$ を正の定数とする。$x>0$ における方程式 $e^x=a{x}^2$ の実数解の個数を、$a$ の値によって分類せよ。

$a$ を実数とする。$x$ 軸上の点 $(a,0)$ から曲線 $y=x{e}^x$ に引ける接線の本数を、$a$ の値によって分類せよ。