整数 × 式の力 — 因数分解・二項定理・合同・桁数

(1) $a^4+4b^4=(a^2+2b^2+2ab)(a^2+2b^2-2ab)$ が成り立つことを示せ。

(2) これを用いて、$2$ 以上の整数 $n$ に対し $n^4+4$ は素数でない(合成数である)ことを示せ。

すべての整数 $n$ に対し、$n^3-n$ が $6$ の倍数であることを示せ。

$2^{100}$ は31桁の自然数であることを、対数を用いずに示せ。

$100!$($=1\times 2\times \cdots \times 100$)を計算すると、末尾に $0$ が連続して何個並ぶか求めよ。

$p$ を素数とする。すべての整数 $a\ge 0$ について $a^p\equiv a(\mathrm{mod}p)$ が成り立つことを、二項定理と数学的帰納法で示せ。

$3^{2024}$ を $100$ で割った余りを求めよ。

$x^2+y^2=z^2$ を満たす自然数 $x,y,z$ について、積 $xyz$ は $60$ の倍数であることを示せ。

$p$ を素数とする。(1) $0<k<p$ のとき二項係数 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k}\right)$ は $p$ の倍数であることを示せ。

(2) すべての整数 $a,b$ について $(a+b{)}^p\equiv a^p+b^p(\mathrm{mod}p)$ を示せ。

$p,q$ を素数とする。$p^q+q^p$ が素数となる組 $(p,q)$ をすべて求めよ。

$n$ を自然数とする。

(1) $n$ が3以上の奇数の約数をもつならば、$2^n+1$ は素数でないことを示せ。

(2) $n\le 10$ の範囲で、$2^n+1$ が素数となる $n$ をすべて求め、そのときの $2^n+1$ の値を答えよ。

$z^3=18+26i$ を満たす複素数 $z$ のうち、$z=a+bi$($a,b$ は整数)の形で表されるものを求めよ。

${\log }_{10}2=0.3010$ とする。$2^{1000}$ は何桁の整数か求めよ。

$n$ を自然数とする。$2^n$ の桁数を $p$、$5^n$ の桁数を $q$ とするとき、$p+q$ を $n$ を用いて表せ。

$7^{100}$ を $100$ で割った余りを求めよ。

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2$ を複素数を用いて示せ。

また、これを利用して $65=5\times 13$ を $2$ つの平方の和で $2$ 通りに表せ。