微分・積分 × 数列 — 積分漸化式・n階導関数・関数方程式

定積分 ${\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx$ を求めよ。

$I={\int }_0^{\pi /2}\log (\sin x)dx$ の値を求めよ(収束することは認めてよい)。

$y=e^x\sin x$ について、$n$ 階導関数が $y^{(n)}=2^{n/2}{e}^x\sin \left(x+\frac{n\pi }{4}\right)$ で与えられることを示せ。

$y=\frac{1}{1-x}$($x\ne 1$)の $n$ 階導関数が $y^{(n)}=\frac{n!}{(1-x{)}^{n+1}}$ で与えられることを示せ。

$y=\frac{1}{1+x^2}$ とする。

(1) すべての自然数 $n$ に対して

$$(1+x^2)y^{(n+1)}+2(n+1)x{y}^{(n)}+n(n+1)y^{(n-1)}=0$$

が成り立つことを示せ。ライプニッツの公式 $(uv{)}^{(m)}=\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})u^{(k)}{v}^{(m-k)}$ を用いてよい。

(2) $y^{(n)}(0)$ を求めよ。

$n$ を自然数とし、$0<\theta <\pi$ とする。$x=\cos \theta$、$y=\cos n\theta$ とおく。

(1) $\frac{dy}{dx}$ を $\theta$ で表せ。

(2) 次が成り立つことを示せ。

$$(1-x^2)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-x\frac{dy}{dx}+n^{2}y=0$$

(3) $n=3$ のとき、$y$ を $x$ の多項式で表せ。

実数全体で微分可能な関数 $f(x)$ が、すべての実数 $x,y$ に対して

$$f(x+y)=f(x)f(y)$$

を満たし、さらに $f^{\prime }(0)=a$($a$ は定数)であるとする。以下、$f$ は恒等的に $0$ ではないとする。

(1) $f(0)=1$ であり、すべての $x$ で $f(x)\ne 0$ であることを示せ。

(2) すべての $x$ で $f^{\prime }(x)=af(x)$ が成り立つことを、微分の定義から示せ。

(3) $f(x)$ を求めよ。

$n$ を自然数とし、$x>0$ で

$$f_n(x)=x^{n-1}\log x$$

とおく。

(1) $f_1^{\prime }(x)$、$f_2^{\prime \prime }(x)$、$f_3^{\prime \prime \prime }(x)$ をそれぞれ計算せよ。

(2) すべての自然数 $n$ に対して

$$f_n^{(n)}(x)=\frac{(n-1)!}{x}$$

であることを示せ。

$n$ を $0$ 以上の整数とし、$I_n={\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx$ とする。

(1) $n\ge 2$ のとき $I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}$ が成り立つことを示せ。

(2) $\underset{n\to \infty }{\lim }n{I}_n{I}_{n-1}$ を求めよ。

$I_n={\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx$($n=0,1,2,\dots$)とする。$I_n$ の漸化式を求め、$I_2$ の値を求めよ。

$n$ を自然数とし

$$I_n={\int }_0^{\pi /2}\frac{\sin (2n+1)x}{\sin x}dx$$

とおく。

(1) $0<x\le \frac{\pi }{2}$ のとき

$$\frac{\sin (2n+1)x}{\sin x}=1+2\sum _{k=1}^n\cos 2kx$$

が成り立つことを示せ。

(2) $I_n$ を求めよ。

$n$ を自然数とし

$$I_n={\int }_0^1\frac{dx}{(1+x^2{)}^n}$$

とおく。

(1) $I_1$ を求めよ。

(2) $2n{I}_{n+1}=(2n-1)I_n+\frac{1}{2^n}$ が成り立つことを示せ。

(3) $I_3$ を求めよ。

$n$ を自然数とし

$$S_n={\int }_0^{n\pi }{e}^{-x}\left|\sin x\right|dx$$

とおく。

(1) $A={\int }_0^{\pi }{e}^{-x}\sin xdx$ を求めよ。

(2) $k$ を自然数とするとき

$${\int }_{(k-1)\pi }^{k\pi }{e}^{-x}\left|\sin x\right|dx=e^{-(k-1)\pi }A$$

が成り立つことを示せ。

(3) $S_n$ を求め、さらに $\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n$ を求めよ。

$I_n={\int }_0^{\pi /4}{\tan }^{n}xdx$($n=0,1,2,\dots$)とおく。

(1) $n\ge 2$ のとき $I_n+I_{n-2}=\frac{1}{n-1}$ を示せ。

(2) $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n=0$ を示せ。

(3) $\underset{n\to \infty }{\lim }n{I}_n$ を求めよ。