極限 × 評価 — はさみうち・漸近の読み取り

$0<\theta <\pi$ とする。(1) $\prod _{k=1}^n\cos \frac{\theta }{2^k}=\frac{\sin \theta }{2^n\sin \frac{\theta }{2^n}}$ を示せ。

(2) $\underset{n\to \infty }{\lim }\prod _{k=1}^n\cos \frac{\theta }{2^k}$ を求めよ。

数列 $\{a_n\}$ を $a_1=2,a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{2}{a_n}\right)$ で定める。$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ を求めよ。

フィボナッチ数列 $F_1=F_2=1,F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ について、比 $r_n=\frac{F_{n+1}}{F_n}$ の極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{r}_n$ を求めよ(極限の存在は認めてよい)。

$a_1=\sqrt{2},a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ で定まる数列の極限を求めよ。

$a_1=1,a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}$ で定まる数列について、一般項 $a_n$ を求め、$\underset{n\to \infty }{\lim }n{a}_n$ を求めよ。

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n!}{n^n}$ を求めよ。

$a>0$ とする。$\underset{n\to \infty }{\lim }n\left(a^{\frac{1}{n}}-1\right)$ を求めよ。

極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }n\sin \left(2\pi \sqrt{n^2+1}\right)$ を求めよ。

極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\cos \frac{1}{n}\right)}^{n^2}$ を求めよ。

$a>0,b>0$ とする。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(a^n+b^n\right)}^{\frac{1}{n}}$ を求めよ。

関数 $f$ を次で定める。

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-1/x}& (x>0)\\ 0& (x\le 0)\end{array}$$

以下、$\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{t^k}{e^t}=0$($k$ は自然数)は用いてよい。

(1) 任意の自然数 $k$ に対して $\underset{x\to +0}{\lim }\frac{e^{-1/x}}{x^k}=0$ を示せ。

(2) $x>0$ において、$f^{(n)}(x)$ は多項式 $P_n$ を用いて $P_n\left(\frac{1}{x}\right)e^{-1/x}$ と書けることを示せ。

(3) $f$ は何回でも微分可能で、すべての自然数 $n$ に対して $f^{(n)}(0)=0$ であることを示せ。

極限 $\underset{x\to \infty }{\lim }\left\{x-x^2\log \left(1+\frac{1}{x}\right)\right\}$ を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

数列 $\{a_n\}$ を $a_1=1,a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$($n\ge 1$)で定める。$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{\sqrt{n}}$ を求めよ。

$x\ge 0$ における関数 $f(x)=e^{-x}\sin x$ を考える。

(1) $f(x)$ が極大となる $x$ をすべて求めよ。

(2) 極大値を大きい方から順に並べた数列が等比数列であることを示し、その公比を求めよ。

(3) 極大値すべての和(無限級数の和)を求めよ。

(1) $t\ge 1$ のとき $\log t<2\sqrt{t}$ が成り立つことを示せ。

(2) $\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$ を示せ。

(3) $\underset{x\to +0}{\lim }{x}^x$ を求めよ。

$\underset{n\to \infty }{\lim }n{\int }_0^1{x}^n{e}^{x}dx$ を求めよ。

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^n{\left(1-\frac{x}{n}\right)}^{n}dx$ を求めよ。