電場・磁場中の荷電粒子 — 加速・偏向・円運動の連鎖

$+1.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ の点電荷が固定されている。質量 $2.0\times 10^{-3}\mathrm{kg}$、電荷 $+1.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ の小球を、十分遠方から速さ $3.0m/s$ で固定電荷に向けて打ち出した。小球が固定電荷に最も近づいたときの距離を求めよ。$k=9.0\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$ とする。

強さ $1.0\times 10^{3}N/C$ の一様な下向きの電場の中に、質量 $4.0\times 10^{-4}\mathrm{kg}$、電荷 $+2.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ の小球を、水平に速さ $3.0m/s$ で打ち出した(重力は無視する)。(1) 小球の加速度 (2) 水平距離 $0.60\mathrm{m}$ 進む間の時間と、その間の落下量 (3) そのときの速度の鉛直成分 を求めよ。

静止した電子(電荷 $e$、質量 $m$)を電位差 $V_0=100\mathrm{V}$ で加速し、速さ $v$ にする。次にこの電子を、間隔 $d=2.0\times 10^{-2}\mathrm{m}$、電圧 $V_1=20\mathrm{V}$、長さ $L=0.10\mathrm{m}$ の平行板の間に、板と平行に入射させて偏向させる。(1) 加速後の速さ $v$ を $e,m,V_0$ で表せ。 (2) 平行板を出るときの進行方向のずれの角 $\theta$ について、$\tan \theta$ を $V_0,V_1,L,d$ で表し、$e,m$ によらないことを示せ。 (3) $\tan \theta$ の値を求めよ。

1 辺 $a=0.30\mathrm{m}$ の正三角形の 3 つの頂点に、$q=2.0\times 10^{-6}\mathrm{C}$ の点電荷を 1 個ずつ置きたい。3 個とも、はじめは無限に遠いところにあり、静止しているものとする。

電荷を 1 個ずつゆっくり運んで所定の位置に固定していく。$k=9.0\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$ とする。

(1) 1 個目、2 個目、3 個目を運ぶのに外から加える仕事を、それぞれ求めよ。

(2) 3 個を配置し終えるまでの仕事の合計を求めよ。

(3) 運ぶ順番を変えても合計は変わらない。その理由を述べよ。

(4) 3 個の固定をいっせいに外すと、電荷はたがいに反発して飛び去る。3 個とも質量が $m=1.0\times 10^{-6}\mathrm{kg}$ のとき、十分に離れたあとの速さを求めよ。

静止した陽子(質量 $1.67\times 10^{-27}\mathrm{kg}$、電気量 $1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$)を電位差 $1000\mathrm{V}$ で加速し、磁束密度 $0.20\mathrm{T}$ の一様な磁場に垂直に入射させた。(1) 加速後の速さ (2) 円運動の半径 を求めよ。$\sqrt{1.92\times 10^{11}}=4.38\times 10^5$ とする。

電子を電位差 $200\mathrm{V}$ で加速し、磁束密度 $2.0\times 10^{-3}\mathrm{T}$ の一様な磁場に垂直に入射させたところ、半径 $2.4\times 10^{-2}\mathrm{m}$ の円を描いた。電子の比電荷 $\frac{e}{m}$ を求めよ。

互いに垂直な電場と磁場が重なった領域に、両方に垂直に荷電粒子を打ち込む。電場の強さ $E=1000V/m$、磁束密度 $B=0.020\mathrm{T}$ のとき、まっすぐ進む(電気力とローレンツ力がつり合う)粒子の速さを求めよ。また、この装置が「速度選択器」と呼ばれる理由を述べよ。

電荷 $q=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ のイオンを電位差 $V=1000\mathrm{V}$ で加速し、磁束密度 $B=0.20\mathrm{T}$ の一様な磁場に垂直に入射させて半円を描かせ、入射点から距離 $2r$ の所で検出する。(1) 質量 $m$ を $q,V,B,r$ で表せ。 (2) 半径 $2.0\mathrm{cm}$ で検出されたイオンの質量を求めよ。 (3) このイオンと、質量が $1\%$ 大きい同位体は、検出位置がどれだけ離れるか。

サイクロトロンで陽子(質量 $1.67\times 10^{-27}\mathrm{kg}$、電気量 $1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$)を加速する。磁束密度 $B=0.50\mathrm{T}$、ディーの半径(最大半径)$R=0.50\mathrm{m}$ とする。(1) 陽子が最大半径に達したときの速さ (2) そのときの運動エネルギー を求めよ。

厚さ $d=1.0\times 10^{-3}\mathrm{m}$ の金属板に、板面に平行に電流 $I=1.0\mathrm{A}$ を流し、板面に垂直に磁束密度 $B=0.50\mathrm{T}$ の磁場をかける。金属中の自由電子(電気量の大きさ $e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$、密度 $n=1.0\times 10^{28}/{\mathrm{m}}^3$)は磁場から力を受け、板の側面間に電位差(ホール電圧)が生じる。このホール電圧 $V_H$ を求めよ。ただし板の幅を $w$ とすると $V_H=\frac{IB}{ned}$ となることを使ってよい。

一様な磁場(磁束密度 $B=0.10\mathrm{T}$)に、電子(質量 $9.1\times 10^{-31}\mathrm{kg}$、電気量 $1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$)が、磁場と $60°$ の角をなす向きに速さ $3.0\times 10^{6}m/s$ で入射した。(1) 円運動の周期 (2) らせん 1 巻きで磁場方向に進む距離(ピッチ) を求めよ。$\pi =3.14$、$\cos 60°=0.50$ とする。

図のように、境界 $x=0$ より右側($x>0$)だけに一様な磁場(磁束密度 $0.50\mathrm{T}$、紙面奥向き)がある。左側($x<0$)は磁場が無い。境界に垂直($+x$ 方向)に、電子(質量 $9.1\times 10^{-31}\mathrm{kg}$、電気量 $1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$)が速さ $2.0\times 10^{6}m/s$ で入射した。(1) 電子は磁場領域でどんな軌道を描き、どこから出てくるか。 (2) 入射点から、出てきた点までの距離を求めよ。

サイクロトロンは、一様な磁束密度 $B=0.50\mathrm{T}$ の磁場の中に置かれた 2 つの D 字形電極(ディー)と、そのすきまにかけた高周波電圧からなる。荷電粒子はすきまを通るたびに電圧 $V=1.0\times 10^5\mathrm{V}$ で加速され、ディーの内部では磁場だけを受けて半円を描く。

陽子が中心付近で速さがほぼ $0$ の状態から出発し、軌道半径が $R=0.40\mathrm{m}$ に達したところで取り出される。陽子の質量を $1.6\times 10^{-27}\mathrm{kg}$、電気量を $1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とし、すきまを通過する時間は無視する。

(1) ディーの中を回る陽子の周期を求めよ。またそれが速さによらないことを、式を用いて示せ。

(2) $n$ 回目の加速を終えた直後の軌道半径 $r_n$ が $\sqrt{n}$ に比例することを示せ。

(3) 取り出すまでに何回の加速が必要か。またそのときの運動エネルギーを、J と MeV の両方で答えよ。

(4) 出発から取り出しまでにかかる時間を求めよ。また、軌道半径が最大の半分になるのは、この時間のうち何 $\%$ が過ぎたときか。

たがいに垂直な一様電場と一様磁場がある。電場は鉛直上向きで、強さは $E=1.0\times 10^{4}V/m$ である。磁場は紙面の裏から表へ向かう向きで、磁束密度は $B=0.10\mathrm{T}$ である。

この中に、質量 $m=1.6\times 10^{-27}\mathrm{kg}$、電気量 $q=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ の正の粒子を、静止した状態で置く。重力は無視する。

(1) 粒子の速度を、一定のベクトル $\vec{u}$ と残りの $\vec{w}$ の和 $\vec{u}+\vec{w}$ と書く。粒子が受ける力が「$\vec{w}$ が磁場から受ける力」だけになるような $\vec{u}$ の向きと大きさを求めよ。

(2) (1) の分解を使って、この運動が「一定の速度の運動」と「等速円運動」の重ね合わせであることを示し、円の半径を求めよ。

(3) 粒子の速さの最大値と、そのときの粒子の高さ(出発点からの高さ)を求めよ。

(4) 粒子が出発点と同じ高さにもどるのは何秒後か。またそのとき水平方向に何 m 進んでいるか。

断面が一辺 $1.0\mathrm{mm}$ の正方形(断面積 $S=1.0\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$)、長さ $L=0.50\mathrm{m}$ のまっすぐな銅線に、電流 $I=5.0\mathrm{A}$ を流す。この銅線を、電流に垂直な一様磁場(磁束密度 $B=0.20\mathrm{T}$)の中に置く。

銅の自由電子の数密度を $n=8.5\times 10^{28}/{\mathrm{m}}^3$、電気量の大きさを $e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とする。

(1) 自由電子の平均の速さを求めよ。

(2) 銅線内のすべての自由電子が磁場から受ける力の合計を求め、$IBL$ と一致することを確かめよ。

(3) 電子は銅線の外へは出られないので、磁場から力を受けた電子は断面の片側に寄る。電子の流れが定常になったとき、断面内に生じている電場(ホール電場)の強さを求めよ。

(4) (3) の電場が、銅線内の正電荷(金属イオン)を押す力を求めよ。その結果をもとに、電子が受けた力が銅線全体にどのように伝わるかを説明せよ。