データ・統計 × 式と不等式 — 判別式・最小二乗・評価

$2$ 変量データの相関係数を $r=\frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}$($s_{xy}$ は共分散、$s_x,s_y$ は標準偏差)とする。$-1\le r\le 1$ が成り立つことを示せ。ただし $s_x,s_y>0$ とする。

$n$ 個のデータ $x_1,\dots ,x_n$ に対し、$g(a)=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(x_i-a{)}^2$ を最小にする $a$ を求め、そのときの最小値を求めよ。

相異なる実数 $x_1<x_2<\cdots <x_n$ に対し、$h(a)={\sum }_{i=1}^n|x_i-a|$ を考える。$n$ が奇数のとき $h(a)$ を最小にする $a$ を求めよ。

$n$ 個のデータの平均を $\bar{x}$、標準偏差を $s(>0)$ とする。平均から $ks$ 以上離れた値、すなわち $|x_i-\bar{x}|\ge ks$($k>0$)となるデータの個数を $m$ とするとき、$\frac{m}{n}\le \frac{1}{k^2}$ が成り立つことを示せ。

$n$ 個のデータ $x_1,x_2,\dots ,x_n$ がすべて $m\le x_i\le M$($m<M$)を満たすとする。このデータの平均値を $\bar{x}$、分散を $s^2$ とする。

(1) $s^2\le \frac{(M-m{)}^2}{4}$ を示せ。

(2) $n$ が偶数のとき、等号が成り立つデータの例を1つ挙げよ。

(3) $n$ が奇数のとき、$s^2$ の最大値を求めよ。

$n$ 個のデータ $x_1,\dots ,x_n$ の平均値を $\bar{x}$、中央値を $M_e$、標準偏差を $s$ とする。以下、「$\sum _{i=1}^n\left|x_i-c\right|$ を最小にする $c$ は中央値 $M_e$ である」ことは用いてよい。

(1) 任意の実数 $c$ に対して

$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\left|x_i-c\right|\le \sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-c{)}^2}$$

が成り立つことを示せ。

(2) $\left|\bar{x}-M_e\right|\le s$ を示せ。

(3) $s>0$ とする。比 $\frac{\left|\bar{x}-M_e\right|}{s}$ は $1$ にいくらでも近づけられることを、データの例を作って示せ。

$n\ge 2$ とし、$x_1,x_2,\dots ,x_n$ はどの2つも異なる整数であるとする。このデータの分散を $s^2$ とする。

(1) 分散は次のようにも書けることを示せ。

$$s^2=\frac{1}{2n^2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(x_i-x_j{)}^2$$

(2) $s^2\ge \frac{n^2-1}{12}$ を示し、等号が成り立つのはどんなときか答えよ。

変量 $x$ の値の集まり $\{1,2,3,4,5\}$ と、変量 $y$ の値の集まり $\{1,2,3,4,10\}$ を1対1に対応させて、5個のデータ $(x_i,y_i)$ を作る。対応のつけ方は $5!=120$ 通りある。

(1) 対応をどう変えても $\bar{x},\bar{y},s_x,s_y$ は変わらない。このことを用いて、相関係数 $r$ を最大にすることが $\sum _{i=1}^5{x}_i{y}_i$ を最大にすることと同じである理由を説明せよ。

(2) $\sum x_i{y}_i$ を最大にする対応は、$x$ と $y$ を同じ順位どうしで組んだものであることを示せ。

(3) $r$ の最大値と最小値を求めよ。

$n$ 個のデータ $(x_1,y_1),\dots ,(x_n,y_n)$ について、$x$ の平均を $\bar{x}$、分散を $s_x^2$($s_x>0$)、$y$ の平均を $\bar{y}$、分散を $s_y^2$($s_y>0$)、共分散を $s_{xy}$、相関係数を $r$ とする。直線 $y=ax+b$ に対して

$$Q(a,b)=\sum _{i=1}^n{\left(y_i-a{x}_i-b\right)}^2$$

とおく($Q$ は各点から直線までの縦のずれの2乗和である)。

(1) $Q$ を最小にする $a,b$ を求めよ。

(2) $Q$ の最小値は $n{s}_y^2\left(1-r^2\right)$ であることを示せ。

(3) (2)から $-1\le r\le 1$ を導き、$r=\pm 1$ となるのはどんなときか答えよ。

$n$ 個のデータ $x_1,\dots ,x_n$($n\ge 2$)の平均値を $\bar{x}$、標準偏差を $s$($s>0$)、最大値を $M$ とする。

(1) $M-\bar{x}\le s\sqrt{n-1}$ が成り立つことを示せ。

(2) 5人が受けた小テストで、平均点が $60$ 点、標準偏差が $10$ 点であった。最高点は $80$ 点を超えないことを示し、最高点が $80$ 点になるときの5人の得点を求めよ。

3つの変量 $x,y,z$ があり、いずれも標準偏差は正であるとする。$x$ と $y$ の相関係数が $\frac{4}{5}$、$y$ と $z$ の相関係数が $\frac{4}{5}$ であるとき、$x$ と $z$ の相関係数を $r$ とする。

(1) $r=1$ となることはあるか。理由をつけて答えよ。

(2) $r\ge \frac{7}{25}$ を示せ。

(3) $r=\frac{7}{25}$ となる5個のデータの例を1つ挙げよ。

確率変数 $X$ について、$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2$ が成り立つことを示し、これを用いて $E(X^2)\ge \{E(X){\}}^2$ が常に成り立つことを示せ。

母平均 $m$、母分散 ${\sigma }^2$ の母集団から、大きさ $n$ の無作為標本 $X_1,X_2,\dots ,X_n$ を取り出す($X_1,\dots ,X_n$ は互いに独立で、それぞれ母集団と同じ分布に従う)。標本平均を $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ とする。

(1) $E(\bar{X})=m$ と $V(\bar{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}$ を示せ。

(2) $S=\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$ とするとき、$E(S)=(n-1){\sigma }^2$ を示せ。

(3) 母分散の推定に $\frac{1}{n}S$ を使うと平均的にどうなるか。$\frac{1}{n-1}S$ を使う理由を述べよ。

母平均 $m$、母分散 ${\sigma }^2$ の母集団から、大きさ $n_1$ の無作為標本と、大きさ $n_2$ の無作為標本を独立に取り出す。それぞれの標本平均を ${\bar{X}}_1,{\bar{X}}_2$ とし、$0\le w\le 1$ に対して

$$T=w{\bar{X}}_1+(1-w){\bar{X}}_2$$

とおく。

(1) どんな $w$ に対しても $E(T)=m$ であることを示せ。

(2) $V(T)$ を $w$ の式で表し、$V(T)$ を最小にする $w$ を求めよ。

(3) (2)の $w$ に対する $V(T)$ を求め、その $T$ が「2つの標本を合わせて1つの標本と見たときの標本平均」に一致することを示せ。

確率変数 $X$ は $-1,0,1$ の値をそれぞれ確率 $\frac{1}{3}$ でとるとし、$Y=X^2$ とする。

(1) $X$ と $Y$ は独立でないことを示せ。

(2) $E(XY)=E(X)E(Y)$ が成り立つことを示せ(すなわち $X$ と $Y$ の共分散は $0$ で、無相関である)。

(3) 一般に、$X$ と $Y$ が独立ならば $E(XY)=E(X)E(Y)$ であることを示せ。

大きさ $N$ の母集団($N$ 個の値からなる)の母平均を $m$、母分散を ${\sigma }^2$ とする。この母集団から $k$ 個($1\le k\le N$)を非復元(取り出したら戻さない)で無作為に取り出し、その値を $X_1,\dots ,X_k$、平均を $\bar{X}=\frac{1}{k}\sum _{i=1}^k{X}_i$ とする。

(1) どの $i$ についても $E(X_i)=m$、$V(X_i)={\sigma }^2$ である理由を説明せよ。

(2) $i\ne j$ のとき、$X_i$ と $X_j$ の共分散が $-\frac{{\sigma }^2}{N-1}$ であることを示せ(ヒント: $k=N$ として全部取り出すと、$X_1+\cdots +X_N$ は定数である)。

(3) $V(\bar{X})=\frac{{\sigma }^2}{k}\cdot \frac{N-k}{N-1}$ を示せ。

(4) 母集団 $\{1,2,3,4,5\}$ から $k=2$ 個を取り出すときの $V(\bar{X})$ を求めよ。