図形 × ベクトル — 五心・面積比・存在範囲

三角形 $\mathrm{ABC}$ の内心 $\mathrm{I}$ の位置ベクトルは、$3$ 辺の長さ $a=\mathrm{BC},b=\mathrm{CA},c=\mathrm{AB}$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{OI}}=\frac{a\overrightarrow{\mathrm{OA}}+b\overrightarrow{\mathrm{OB}}+c\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{a+b+c}$ と表されることを示せ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の外心を $\mathrm{O}$、重心を $\mathrm{G}$、垂心を $\mathrm{H}$ とする。$\mathrm{O}$ を始点にとると $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ が成り立つことを示し、$\mathrm{O},\mathrm{G},\mathrm{H}$ が一直線上にあること($\mathrm{OG}:\mathrm{GH}=1:2$)を示せ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ に対し、点 $\mathrm{P}$ が動くとき ${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2+{\mathrm{PC}}^2$ を最小にする点 $\mathrm{P}$ を求めよ。

三角形 $\mathrm{OAB}$ に対し、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とする。実数 $s,t$ が $s\ge 0,t\ge 0,1\le s+t\le 2$ を満たしながら動くとき、点 $\mathrm{P}$ の存在する範囲を求め、その面積を三角形 $\mathrm{OAB}$ の面積 $S$ で表せ。

$|\vec{a}|=5$ とし、$\vec{p}$ が $|\vec{p}|=2$ を満たしながら動くとき、内積 $\vec{a}\cdot \vec{p}$ の最大値と最小値を求めよ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の内部の点 $\mathrm{P}$ が $\overrightarrow{\mathrm{PA}}+2\overrightarrow{\mathrm{PB}}+3\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\vec{0}$ を満たすとき、$3$ つの三角形 $△\mathrm{PBC},△\mathrm{PCA},△\mathrm{PAB}$ の面積比を求めよ。

三角形の $2$ 頂点 $\mathrm{A},\mathrm{B}$ と、辺 $\mathrm{AB}$ の中点 $\mathrm{M}$、および任意の点 $\mathrm{P}$ について、${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2=2{\mathrm{PM}}^2+2{\mathrm{AM}}^2$(中線定理)が成り立つことを、ベクトルを用いて示せ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ の内部の点 $\mathrm{P}$ に対し、直線 $\mathrm{AP},\mathrm{BP},\mathrm{CP}$ が対辺 $\mathrm{BC},\mathrm{CA},\mathrm{AB}$ と交わる点をそれぞれ $\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F}$ とする。$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{DC}}\cdot \frac{\mathrm{CE}}{\mathrm{EA}}\cdot \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FB}}=1$(チェバの定理)を示せ。

$\vec{a},\vec{b}$ を平面上の零ベクトルでないベクトルとする。

(1) すべての実数 $t$ について $|\vec{a}-t\vec{b}{|}^2\ge 0$ が成り立つことを用いて、不等式 $(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2\le |\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2$ を示せ。

(2) $\vec{a},\vec{b}$ が平行でないとき、$\vec{a},\vec{b}$ の張る三角形の面積が $S=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$ で与えられることを示せ。さらに $\vec{a}=(x_1,y_1),\vec{b}=(x_2,y_2)$ のとき $S=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$ を導け。

三角形 $\mathrm{OAB}$ において $\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とし、$|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3,\vec{a}\cdot \vec{b}=3$ とする。外心を $\mathrm{P}$ とし、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\vec{a}+t\vec{b}$ とおくとき、$s,t$ の値を求めよ。

三角形 $\mathrm{ABC}$ と点 $\mathrm{P}$ が

$$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{PC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PA}}$$

を満たすとする。

(1) $\mathrm{P}$ は三角形 $\mathrm{ABC}$ の垂心であることを示せ。

(2) $\mathrm{A}(0,3),\mathrm{B}(-1,0),\mathrm{C}(2,0)$ のとき、この条件を満たす点 $\mathrm{P}$ の座標を求めよ。

$\vec{a}=(2,1),\vec{b}=(1,3)$ とする。実数 $x,y$ が $|x|+|y|\le 1$ を満たしながら動くとき、$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x\vec{a}+y\vec{b}$ で定まる点 $\mathrm{P}$ の動く領域の面積を求めよ。

2点 $\mathrm{A}(-2,0),\mathrm{B}(2,0)$ に対し、$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=5$ を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡を求めよ。

平面上のベクトル $\vec{a},\vec{b}$ が $|\vec{a}+\vec{b}|=3,|\vec{a}-\vec{b}|=1$ を満たす。

(1) $\vec{a}\cdot \vec{b}$ と $|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2$ の値を求めよ。

(2) $|\vec{a}||\vec{b}|$ のとりうる値の範囲を求めよ。

原点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径1の円周上に3点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ があり、

$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\vec{0}$$

を満たすとする。三角形 $\mathrm{ABC}$ は正三角形であることを示せ。

2点 $\mathrm{A}(0,2),\mathrm{B}(4,4)$ と、$x$ 軸上を動く点 $\mathrm{P}$ に対し、${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2$ の最小値と、そのときの $\mathrm{P}$ の座標を求めよ。