積分 × 図形 — 面積・体積・曲線の長さ

$2$ つの不等式 $y\ge x^2$ と $y\le 2-x^2$ を同時に満たす領域の面積を求めよ。

$2$ つの不等式 $y\ge |x|-1$ と $y\le 1-x^2$ を同時に満たす領域の面積を求めよ。

曲線 $y=x^3-3x^2+2x$ と $x$ 軸で囲まれる $2$ つの部分について、それらの面積が等しいことを示せ。

放物線 $y=x^2$ 上の $2$ 点 $(a,a^2),(b,b^2)$($a<b$)における接線を引く。放物線とこれら $2$ 接線で囲まれる部分の面積を $a,b$ で表せ。

直線 $y=mx+1$ と放物線 $y=x^2$ で囲まれる部分の面積 $S(m)$ を最小にする $m$ と、その最小値を求めよ。

曲線 $y=x^3-3x$ の点 $(1,-2)$ における接線を $\ell$ とする。曲線と $\ell$ で囲まれる部分の面積を求めよ。

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=mx+1$ で囲まれる部分の面積を $S(m)$ とする。$S(m)$ を最小にする $m$ の値と、そのときの最小値を求めよ。

実数 $a$($0\le a\le 2$)に対し、${\int }_0^2|x^2-ax|dx$ を最小にする $a$ の値を求めよ。

放物線 $y=x(2-x)$ と $x$ 軸で囲まれる部分の面積を、原点を通る直線 $y=mx$($0<m<2$)が $2$ 等分するとき、$m$ の値を求めよ。

曲線 $y=|x^2-1|$ と直線 $y=3$ で囲まれる部分の面積を求めよ。

$3$ 次関数 $y=x^3-3x$ のグラフと直線 $y=x$ で囲まれる $2$ つの部分の面積は等しいことを示せ。

曲線 $y=e^{-x}$($x\ge 0$)と $x$ 軸のあいだの部分を、直線 $x=a$($a>0$)で左右に分ける。左側($0\le x\le a$)と右側($x\ge a$)を、それぞれ $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積が等しくなる $a$ を求めよ。

底面が半径 $1$ の円である立体があり、底面に垂直な平面での切り口(底面の弦を1辺とする)がつねに正三角形であるとする。この立体の体積を求めよ。

$b>a>0$ とする。中心 $(b,0)$、半径 $a$ の円板を $y$ 軸のまわりに1回転してできるドーナツ形(トーラス)の体積を求めよ。

曲線 $y=\sin x$($0\le x\le \pi$)と $x$ 軸で囲まれた図形の重心の $y$ 座標を求めよ。

半径1の2つの直円柱があり、その中心軸は直交している。2つの円柱の共通部分の体積を求めよ。

$a$ を $1\le a\le e$ を満たす実数とする。

$$S(a)={\int }_0^1\left|e^x-a\right|dx$$

を最小にする $a$ の値と、そのときの最小値を求めよ。

曲線 $y=\log (\cos x)$($0\le x\le \frac{\pi }{3}$)の長さを求めよ。

曲線 $y=\log x$、$x$ 軸、直線 $x=e$ で囲まれた部分を、$y$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)で囲まれた部分の面積を求めよ。

サイクロイド $x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t)$($0\le t\le 2\pi$、$a>0$)の $1$ つの山(この範囲)の長さを求めよ。

極方程式 $r=a(1+\cos \theta )$($a>0$、$0\le \theta \le 2\pi$)が表す曲線(カージオイド)が囲む部分の面積を求めよ。

アステロイド $x=a{\cos }^{3}t,y=a{\sin }^{3}t$($0\le t\le 2\pi$、$a>0$)が囲む部分の面積を求めよ。

極方程式 $r^2=\cos 2\theta$ で表される曲線(レムニスケート)の囲む部分の面積を求めよ。