空間図形の総合 — 断面・展開・体積

$1$ 辺の長さ $a$ の正四面体 $\mathrm{ABCD}$ について、向かい合う $2$ 辺 $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{CD}$ の中点を結ぶ線分の長さを求めよ。

$1$ 辺の長さ $1$ の立方体について、$1$ つの対角線(向かい合う頂点を結ぶ線分)と底面がなす角を $\theta$ とするとき、$\cos \theta$ の値を求めよ。

四面体 ABCD において、$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=\sqrt{5}$、$\mathrm{AC}=\mathrm{BD}=\sqrt{10}$、$\mathrm{AD}=\mathrm{BC}=\sqrt{13}$ が成り立つ。この四面体の体積を求めよ。

底面が1辺 $6$ の正方形 ABCD、他の $4$ 辺(側辺)がすべて $5$ の正四角錐 P-ABCD がある。この四角錐の体積と、側面と底面のなす角 $\theta$ の余弦 $\cos \theta$ を求めよ。

底面の半径が $1$、母線の長さが $4$ の直円錐がある。母線 OA 上の点 A(底面の周上)から出発し、円錐の側面を1周して A に戻る糸を最も短く張ったとき、その長さを求めよ。

正十二面体($12$ 個の正五角形の面をもつ正多面体)について、頂点の数 $V$、辺の数 $E$、面の数 $F$ を求め、$V-E+F=2$(オイラーの多面体定理)が成り立つことを確かめよ。

四面体 $\mathrm{OABC}$ の相対する辺(向かい合う辺)の中点どうしを結ぶ $3$ 本の線分は、$1$ 点で交わり、その点で互いに二等分されることを、位置ベクトルを用いて示せ。

正四面体の隣り合う $2$ つの面がなす角(二面角)を $\theta$ とする。$\cos \theta$ の値を求めよ。

空間の $2$ 直線 $\ell :(x,y,z)=(t,0,0)$、$m:(x,y,z)=(s,s,1)$($t,s$ は実数)の最短距離を求めよ。

$4$ 点 $\mathrm{O}(0,0,0),\mathrm{A}(1,0,0),\mathrm{B}(0,1,0),\mathrm{C}(0,0,1)$ を頂点とする四面体について、体積 $V$ と内接球の半径 $r$ を求めよ。

正四面体 $\mathrm{ABCD}$ の $4$ 辺 $\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CD},\mathrm{DA}$ の中点を、この順に結んでできる四角形は正方形であることを示せ。

正四面体の内部の点 $\mathrm{P}$ から $4$ つの面までの距離の和は、$\mathrm{P}$ の位置によらず一定であることを示し、その値を四面体の高さ $h$ で表せ。

空間の直線が $x$ 軸、$y$ 軸、$z$ 軸の正の向きとなす角をそれぞれ $\alpha ,\beta ,\gamma$ とする。${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$ を示せ。

また、$\alpha =\beta =60^{\circ }$ のとき $\gamma$ を求めよ。

$4$ 点 $\mathrm{O}(0,0,0),\mathrm{A}(2,0,0),\mathrm{B}(0,2,0),\mathrm{C}(0,0,2)$ を通る球(外接球)の中心と半径を求めよ。

座標空間の1辺1の立方体 $0\le x\le 1,0\le y\le 1,0\le z\le 1$ を、平面 $x+y+z=\frac{3}{2}$ で切る。

(1) 切り口が正六角形であることを示せ。

(2) 切り口の面積を求めよ。

2点 $\mathrm{A}(1,1,3),\mathrm{B}(3,5,1)$ と、$xy$ 平面($z=0$)上を動く点 $\mathrm{R}$ に対し、$\mathrm{AR}+\mathrm{RB}$ の最小値と、それを与える $\mathrm{R}$ の座標を求めよ。

四面体 $\mathrm{ABCD}$ において、各頂点とその向かい合う面の重心を結ぶ4本の線分を考える。

(1) この4本の線分は1点で交わることを示せ。

(2) その交点は、各線分を頂点の側からどのような比に内分するか。

四面体 $\mathrm{ABCD}$ において、$\mathrm{AB}\perp \mathrm{CD}$ かつ $\mathrm{AC}\perp \mathrm{BD}$ ならば、$\mathrm{AD}\perp \mathrm{BC}$ であることを示せ。

球面 $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-3{)}^2=25$ と平面 $2x+2y+z=21$ が交わってできる円の中心の座標と半径を求めよ。

平行六面体の1つの頂点から出る3辺のベクトルを $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ とする。

(1) 4本の対角線の長さの平方の和が $4\left(|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+|\vec{c}{|}^2\right)$ に等しいことを示せ。

(2) $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2,|\vec{c}|=3$ のとき、その値を求めよ。

4点 $\mathrm{A}(1,1,1),\mathrm{B}(1,-1,-1),\mathrm{C}(-1,1,-1),\mathrm{D}(-1,-1,1)$ を考える。

(1) 四面体 $\mathrm{ABCD}$ は正四面体であり、原点 $\mathrm{O}$ が外接球の中心であることを示せ。

(2) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\vec{0}$ を確かめ、$\cos \angle \mathrm{AOB}$ を求めよ。