複素数 × 三角関数 — 1のn乗根・ド・モアブル

$n$ 枚の硬貨を同時に投げる。表が出た枚数が $3$ の倍数($0$ も含む)になる確率 $P_n$ を、$n$ を用いて表せ。

$\omega$ を $1$ の虚立方根の $1$ つ(すなわち ${\omega }^3=1,\omega \ne 1$)とする。$(1+\omega {)}^{2024}$ を $\omega$ を用いて表せ。

$\zeta =\cos 72^{\circ }+i\sin 72^{\circ }$ とすると、$\zeta$ は $1$ の原始 $5$ 乗根で $1+\zeta +{\zeta }^2+{\zeta }^3+{\zeta }^4=0$ を満たす。これを用いて $\cos 72^{\circ }+\cos 144^{\circ }$ の値を求め、さらに $\cos 72^{\circ }=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ を示せ。

$\zeta$ を $1$ の原始 $5$ 乗根(${\zeta }^5=1,\zeta \ne 1$)とする。$(1-\zeta )(1-{\zeta }^2)(1-{\zeta }^3)(1-{\zeta }^4)$ の値を求めよ。

$z=a+bi$($a,b$ は実数)とする。$z^2=\overline{z}$(右辺は $z$ の共役複素数)を満たす複素数 $z$ をすべて求めよ。

$\sin \frac{\theta }{2}\ne 0$ とする。$\sum _{k=1}^n\cos k\theta$ を $\theta ,n$ の式で表せ。

$n$ を自然数とする。$\sum _{k=1}^n{\tan }^2\frac{k\pi }{2n+1}$ を求めよ。

$n\ge 2$ とする。$\sum _{k=0}^{n-1}{\cos }^2\left(\theta +\frac{k\pi }{n}\right)$ を求めよ。

${\sin }^5\theta$ を $\sin \theta ,\sin 3\theta ,\sin 5\theta$ の $1$ 次式で表せ。

$c_n=2\cos n\theta$ とおく。(1) $c_{n+1}=2\cos \theta \cdot c_n-c_{n-1}$ を示せ。

(2) これを用いて $\cos 5\theta$ を $\cos \theta$ の式で表し、$\cos 36^{\circ }$ の値を求めよ。

$n$ を自然数とする。$\sum _{k=1}^n\cos \frac{2k\pi }{2n+1}$ を求めよ。

$n\ge 2$ とし、$\zeta =\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$ とする。$\prod _{k=1}^{n-1}(1-{\zeta }^k)=n$ を示せ。

$0<\theta <2\pi$ とする。$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos n\theta }{2^n}$ を求めよ。

$\zeta =\cos \frac{2\pi }{7}+i\sin \frac{2\pi }{7}$ とする。$A=\zeta +{\zeta }^2+{\zeta }^4,B={\zeta }^3+{\zeta }^5+{\zeta }^6$ の値を求めよ。

$n\ge 2$ とし、$\zeta =\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$ とする。$\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{1-{\zeta }^k}$ を求めよ。