熱と仕事・力学 — 力学的エネルギーと熱、気体と力

質量 $10\mathrm{kg}$ のおもりを高さ $2.0\mathrm{m}$ から落下させ、その位置エネルギーで羽根車を回して水をかき混ぜる操作を、$20$ 回繰り返した。位置エネルギーがすべて水の温度上昇に使われたとする。水の質量を $1000\mathrm{g}$、比熱を $4.2J/(\mathrm{g}\cdot \mathrm{K})$、重力加速度を $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ として、水の温度上昇を求めよ。

速さ $10m/s$ で運動していた質量 $2.0\mathrm{kg}$ の物体が、水中で止まった。物体の運動エネルギーがすべて熱に変わり、まわりの水を温めたとする。水の質量を $50\mathrm{g}$、比熱を $4.2J/(\mathrm{g}\cdot \mathrm{K})$ として、水の温度上昇を求めよ。

断面積 $S=1.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$ の水平なシリンダーに、なめらかに動く質量 $m=1.0\mathrm{kg}$ のピストンで気体を閉じこめる。シリンダーの外側は大気(圧力 $P_0=1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$)に開いている。

はじめ気体の圧力は $P_0$、体積は $V_0=1.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$ で、ピストンは静止している。ここでピストンを外向きに $x$ だけずらして静かにはなす。$x$ は気柱の長さ $\frac{V_0}{S}$ に比べて十分小さいとする。

(1) 気体の温度がつねに一定に保たれるとする。ピストンが $x$ だけずれたときの気体の圧力を求め、$|x|$ が小さいときの近似を使って、ピストンにはたらく力が復元力になることを示せ。ばね定数にあたる量を $P_0,S,V_0$ で表せ。

(2) (1) のばね定数の値と、ピストンの振動の周期を求めよ。

(3) 実際には振動が速いと熱の出入りが間に合わず、断熱変化 $P{V}^{\gamma }=$(一定)とみなすほうが正しい。$\gamma =1.4$ として、このときのばね定数と周期を求めよ。

1 辺 $L$ の立方体の容器に、質量 $m$ の分子 $N$ 個の理想気体が入っている。$x$ 軸に垂直な 1 つの壁について、(1) 速度の $x$ 成分が $v_x$ の分子が、この壁に 1 回衝突(弾性衝突)するとき壁が受ける力積の大きさを求めよ。 (2) この分子が時間 $t$ の間にこの壁に衝突する回数を求めよ。 (3) 圧力が $P=\frac{Nm\overline{v^2}}{3L^3}$ と表せることを示せ。ただし $\overline{v_x^2}=\frac{1}{3}\overline{v^2}$ を用いてよい。

断面積 $S=1.0\times 10^{-2}{\mathrm{m}}^2$ のなめらかなピストン付きシリンダーを水平に置き、内部に温度 $T_0=300\mathrm{K}$、体積 $V_0=1.0\times 10^{-2}{\mathrm{m}}^3$ の理想気体を閉じ込める。ピストンはばね定数 $k=1.0\times 10^{3}N/m$ のばね(はじめ自然長)で外の壁につながれ、大気圧は $P_0=1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$ である。気体を温めてピストンを $x=0.10\mathrm{m}$ 押し出したとき、(1) 気体の圧力 (2) 気体の温度 (3) 気体がした仕事 を求めよ。

断面積 $S=4.9\times 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$ のシリンダーに、質量 $M=1.0\mathrm{kg}$ のなめらかなピストンで気体を閉じ込める。開口部を上にして鉛直に立てたとき、気柱の長さは $20\mathrm{cm}$ であった。このシリンダーを開口部が下になるようにひっくり返すと、気柱の長さはいくらになるか。大気圧を $P_0=1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$、重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とし、温度は一定とする。

大気の温度がどの高さでも $T=300\mathrm{K}$ で一定だとする。高さ $h$ での圧力を $P(h)$、空気のモル質量を $M=2.9\times 10^{-2}kg/mol$、重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$、$R=8.3J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$ とする。

高さ $h$ から $h+\Delta h$ までの、断面積 $S$ の薄い空気の層を考える。

(1) この層にはたらく力のつり合いから、$P(h+\Delta h)-P(h)$ を、その層の空気の密度 $\rho$ を用いて表せ。

(2) 理想気体の状態方程式から、密度が $\rho =\frac{MP}{RT}$ と書けることを示せ。

(3) (1) と (2) から $\frac{\Delta P}{\Delta h}=-\frac{Mg}{RT}P$ が得られる。この関係を満たす関数は $P(h)=P_0{e}^{-h/H}$ の形であり、$H=\frac{RT}{Mg}$ である。$H$ の値を求めよ。

(4) 富士山の山頂($h=3776\mathrm{m}$)での気圧は、地上の何 $\%$ か。$e^{-0.431}=0.650$ とする。

天体が大気を保てるかどうかは、分子の熱運動の速さと脱出速度の比で決まる。分子の速さが脱出速度に近いと、上層から少しずつ分子が逃げていき、長い時間のうちに大気を失う。

目安として、分子の二乗平均速度が脱出速度の $\frac{1}{6}$ を超えると、その気体は数億年のうちに失われるとされる。

分子の二乗平均速度は $\sqrt{\frac{3RT}{M}}$、脱出速度は $\sqrt{2g{R}_{\text{天体}}}$ である。$R=8.3J/(\mathrm{mol}\cdot \mathrm{K})$、大気の温度を $T=300\mathrm{K}$ とする。

(1) 水素分子($M=2.0\times 10^{-3}kg/mol$)と酸素分子($M=3.2\times 10^{-2}kg/mol$)の二乗平均速度を求めよ。

(2) 地球($g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$、半径 $6.4\times 10^6\mathrm{m}$)の脱出速度を求めよ。

(3) 地球は水素と酸素のどちらを保てるか。目安に照らして答えよ。

(4) 月($g=1.6m/{\mathrm{s}}^2$、半径 $1.74\times 10^6\mathrm{m}$)ではどうか。月に大気がほとんどない理由を説明せよ。