単振動 × 力と運動 — 離れる・止まる・張力が跳ぶ

あらい水平な床の上に質量 $m=2.5\mathrm{kg}$ の物体を置き、ばね定数 $k=98N/m$ の軽いばねの一端をつなぐ。ばねの他端は壁に固定されている。物体と床のあいだの静止摩擦係数と動摩擦係数は、どちらも $\mu =0.20$ とする。

ばねが自然長のときの物体の位置を原点 O とし、ばねが伸びる向きを正として位置 $x$ をとる。物体を $x=0.42\mathrm{m}$ まで引いて静かにはなす。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

(1) はなしてから最初に折り返すまでの運動は単振動である。その振動の中心の位置と、最初に折り返す位置を求めよ。

(2) 折り返しの位置は、半往復するごとにいくら中心に寄るか。また 1 往復に要する時間は、摩擦がないときと変わるか。

(3) 物体が最後に止まる位置と、止まるまでに折り返す回数を求めよ。

(4) 止まるまでに物体が動いた道のりの合計を求めよ。

軽いばね(ばね定数 $k=196N/m$)を鉛直に立て、その上に質量 $M=1.5\mathrm{kg}$ の台を乗せる。さらにその上に質量 $m=0.50\mathrm{kg}$ の小物体を乗せた。台と小物体は接しているだけで、たがいに固定されていない。

全体が静止した位置から台を鉛直下向きに $d$ だけ押し下げ、静かにはなす。以後、台と小物体は一体となって鉛直に単振動を始める。空気の抵抗とばねの質量は無視し、重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

(1) 静止しているとき、ばねは自然長から何 m 縮んでいるか。

(2) 小物体が台から離れるのは、台がどの位置にきたときか。理由をつけて答えよ。

(3) 小物体が台から離れるためには、押し下げる距離 $d$ は少なくともいくら必要か。

(4) $d=0.30\mathrm{m}$ とする。小物体が台から離れる瞬間の速さと、離れたあと小物体が離れた位置からさらに何 m 上がるかを求めよ。

長さ $0.80\mathrm{m}$ の軽い糸の一端を点 P に固定し、他端に質量 $m=0.50\mathrm{kg}$ の小球をつけた振り子がある。P の真下 $0.60\mathrm{m}$ の点 Q に細い釘が打ってあり、小球が最下点を通りすぎて糸が左側にくると、糸は釘に引っかかって、それより下の $0.20\mathrm{m}$ の部分だけで振れる。

糸はたるまず、伸び縮みもしないものとする。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

(1) 小球を右側に小さく振らせたときの、この振り子の周期を求めよ。$\pi$ を用いた形と、小数第 2 位までの数値の両方で答えよ。

(2) 右側での角振幅を ${\theta }_1$(十分小さい)とする。左側での角振幅 ${\theta }_2$ を求めよ。また左右の水平方向の振れ幅を比べよ。

(3) 小球が最下点を速さ $1.4m/s$ で通過する。釘に引っかかる直前と直後で、糸の張力はそれぞれいくらか。