二項係数の恒等式 — 組合せ論法・微分・積分

$n$ を自然数とする。$\sum _{k=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}^2=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$ が成り立つことを示せ。ここで $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ は二項係数 ${}_n{\mathrm{C}}_k$ を表す。

$n$ を自然数とする。$\sum _{k=0}^n{k}^2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=n(n+1)2^{n-2}$ が成り立つことを示せ。

$n$ を自然数とする。二項定理を用いて、不等式

$${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n<3$$

が成り立つことを示せ。

$n$ を自然数とする。

(1) 等式 ${}_{2n}{\mathrm{C}}_n-{}_{2n}{\mathrm{C}}_{n+1}=\frac{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}{n+1}$ が成り立つことを示せ。

(2) ${}_{2n}{\mathrm{C}}_n$ は $n+1$ の倍数であることを示せ。

$n$ を自然数とする。$\sum _{k=0}^n{k}^2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ を求めよ。

$n$ を自然数とする。$\sum _{k=0}^n{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)}^2$ を求めよ。

$X$ が二項分布 $B(n,p)$ に従うとき、$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$ である。期待値 $E(X)=\sum _{k=0}^{n}kP(X=k)$ が $np$ に等しいことを示せ。ただし $q=1-p$ とする。

$X$ が二項分布 $B(n,p)$ に従うとき、$E(X)=np$ を用いて、分散 $V(X)=np(1-p)$ を示せ。ただし $q=1-p$ とし、$E(X(X-1))=n(n-1)p^2$ は用いてよい。

$1$ から $n$ までの番号が1つずつ書かれた $n$ 枚のカードから、無作為に $k$ 枚($1\le k\le n$)を同時に取り出す。取り出したカードの番号の最大値を $M$ とする。

(1) $k\le t\le n$ のとき $P(M\le t)$ を求めよ。

(2) $P(M=t)$ を求めよ。

(3) $E(M)=\frac{k(n+1)}{k+1}$ を示せ。

(4) $n=10,k=3$ のときの $E(M)$ を求めよ。

$X$ は二項分布 $B(m,p)$ に、$Y$ は二項分布 $B(n,p)$ に従い、$X$ と $Y$ は独立であるとする($q=1-p$ とおく)。

(1) 二項定理を用いて、次の等式(ヴァンデルモンドの畳み込み)を示せ。

$$\sum _{j=0}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{j}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-j}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{k}\right)$$

(2) $X+Y$ は二項分布 $B(m+n,p)$ に従うことを示せ。

(3) (2)から $E(X+Y)$ と $V(X+Y)$ を求め、$E(X)+E(Y)$、$V(X)+V(Y)$ と一致することを確かめよ。

$y=x^2{e}^x$ の $n$ 階導関数が $y^{(n)}=e^x\{x^2+2nx+n(n-1)\}$ で与えられることを示せ($n\ge 0$)。

$m,n$ を $0$ 以上の整数とし

$$B(m,n)={\int }_0^1{x}^m(1-x{)}^{n}dx$$

とおく。

(1) $n\ge 1$ のとき $B(m,n)=\frac{n}{m+1}B(m+1,n-1)$ が成り立つことを示せ。

(2) $B(m,n)=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}$ を示せ。

(3) $\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{m+k+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ を求めよ。

$n$ を自然数とする。${\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2n}\theta d\theta$ を求めよ。